Belopp

Belopp


DEFINITION


För ett reellt tal x definieras |x|, “beloppet av x“, genom \left\vert x \right\vert =\left\{\begin{array}{c}-x \text{, då } x<0 \\ 0 \text{, \ då } x=0 \\ x \text{, \ då \ } x>0 \end{array} \right. .

Geometriskt innebörd
Representeras de reella talen som punkter på (den reella) tallinjen så anger |xavståndet (i längdenheter, l.e.) mellan punkten x och origo.

EXEMPEL
Punkterna 3 och -3 ligger 3 l.e. från origo: |3| = |-3| = 3.


UPPGIFTER

Aförberedande uppgifter

1. Visa att för reella tal xaAA > 0 gäller
a) 0 \leq x = -x
b)\begin{array}{l}\left\vert x \right\vert \leq A \leftrightarrow -A \leq x \leq A, \\\left\vert x \right\vert \geq A \leftrightarrow (A \leq x \text{ eller } x \leq -A).\end{array}
c) \ \pm x\leq \left\vert x\right\vert.
d) \left\vert x-a \right\vert = \left\vert a-x \right\vert = \text{ avståndet mellan } x \text{ och } a.

2. Lös (dvs. “bestäm samtliga reella x som satisfierar”)
a) \left\vert x-2 \right\vert = 3.
b) \left\vert x+3 \right\vert = 2.
c) \left\vert x-3 \right\vert < 1.

Bvanliga uppgifter

3. Visa att för reella xy gäller
a) \ \left\vert x\cdot y\right\vert =\left\vert x\right\vert \cdot\left\vert y\right\vert.

\left\vert x \cdot y \right\vert = x \cdot y.
b) \ \left\vert \frac{x}{y}\right\vert = \frac{\left\vert x\right\vert}{ \left\vert y\right\vert} \ (y\neq 0).

\left\vert \frac{x}{y} \right\vert = \frac{x}{y}(y \neq 0).
c) \ \left\vert x + y\right\vert \leq\left\vert x\right\vert + \left\vert y\right\vert,

\left\vert x + y \right\vert \leq x + y, diskutera när det gäller likhet.
d) \ \left\vert x - y\right\vert \geq \left\vert \left\vert x\right\vert - \left\vert y\right\vert\right\vert.

\left\vert x-y \right\vert \geq x-y.

4Lös
a) \ \left\vert 2x+3\right\vert > 5.

\left\vert 2x + 3 \right\vert > 5.
b) \ \left\vert x-1\right\vert = \left\vert x-3\right\vert.

\left\vert x-1 \right\vert = x-3.
c) \frac{\left\vert x-1\right\vert}{\left\vert x-3\right\vert} \geq 2.

\frac{x-1}{x-3} \geq 2.
d) \ 2\left\vert x+5\right\vert +4\left\vert x-4\right\vert =5\left\vert\ x+1\right\vert (eller \ 2\left\vert x+5\right\vert +4\left\vert x-4\right\vert <5\left\vert\ x+1\right\vert).

2x + 5 + 4x - 4 = 5x + 1 (eller 2x + 5 + 4x - 4 < 5x + 1.

Cmera avanverade uppgifter

Beloppet för punkter (vektorer) i planet (för komplexa tal):
För två punkter P1 = (x,y) och P2 = (a,b) i planet (för två ortsvektorer \bf{ x }=\overrightarrow{OP_{1}}=(x,y) \mathbf{x} = \overrightarrow{OP_1} = (x,y) och \bf{a}=\overrightarrow{OP_{2}}=(a,b) \mathbf{a} = \overrightarrow{OP_2} = (a,b),
för två komplexa tal \bf{x}=x+iy \mathbf{x} = x + iy och \bf{a}=a+ib) \mathbf{a} = a + ib är
\left\vert \bf{x}\right\vert= \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathbf{x} = \sqrt{x^2 + y^2} längden av vektorn \bf{x}=\overrightarrow{OP_{1}} \mathbf{x} = \overrightarrow{OP_1} ( = avståndet mellan punkten P1 och origo),
\left\vert \bf x-\bf a\right\vert= \sqrt{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}} \mathbf{x} - \overrightarrow\math{bf} = \sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2)} avståndet mellan x och a (Pytagoras, rita!).

5. Visa att för vektorer i planet (för komplexa tal) x y gäller
a) \ 0\leq \left\vert \bf{x}\right\vert= \left\vert -\bf{x}\right\vert. 0 \leq \mathbf{x} = -\mathbf{x}.
b) Reglerna i uppg. 3 gäller för komplexa tal x y ; 3c och 3d gäller för vektorer x y .
c) För komplexa tal x gäller \left\vert \bf{x}\right\vert=\left\vert \overline{\bf{x}}\right\vert=\sqrt{\bf{x}}\cdot \overline{\bf{x}} (\overline{\bf{x}}=x-iy\text{ d� }\bf{x}=x+iy).
d) Lös \ \left\vert \bf{x}-(1,2)\right\vert<\frac{1}{2}.