Belopp

Samuel Bengmark Uppgift 17 november, 2021 | 0

DEFINITION

För ett reellt tal x definieras |x|, “beloppet av x“, genom $\left\vert x \right\vert =\left\{\begin{array}{c}-x \text{, då } x<0 \\ 0 \text{, \ då } x=0 \\ x \text{, \ då \ } x>0 \end{array} \right. .$

Geometriskt innebörd
Representeras de reella talen som punkter på (den reella) tallinjen så anger |x| avståndet (i längdenheter, l.e.) mellan punkten x och origo.

EXEMPEL
Punkterna 3 och -3 ligger 3 l.e. från origo: |3| = |-3| = 3.

UPPGIFTER

A. förberedande uppgifter

1. Visa att för reella tal x, a, A, A > 0 gäller
a) $0 \leq x = -x$
b) $\begin{array}{l}\left\vert x \right\vert \leq A \leftrightarrow -A \leq x \leq A, \\\left\vert x \right\vert \geq A \leftrightarrow (A \leq x \text{ eller } x \leq -A).\end{array}$
c) $\ \pm x\leq \left\vert x\right\vert$ .
d) $\left\vert x-a \right\vert = \left\vert a-x \right\vert = \text{ avståndet mellan } x \text{ och } a.$

2. Lös (dvs. “bestäm samtliga reella x som satisfierar”)
a) $\left\vert x-2 \right\vert = 3.$
b) $\left\vert x+3 \right\vert = 2.$
c) $\left\vert x-3 \right\vert < 1.$

B. vanliga uppgifter

3. Visa att för reella x, y gäller
a) $\ \left\vert x\cdot y\right\vert =\left\vert x\right\vert \cdot\left\vert y\right\vert$ .

$\left\vert x \cdot y \right\vert = x \cdot y.$
b) $\ \left\vert \frac{x}{y}\right\vert = \frac{\left\vert x\right\vert}{ \left\vert y\right\vert} \ (y\neq 0)$ .

$\left\vert \frac{x}{y} \right\vert = \frac{x}{y}(y \neq 0).$
c) $\ \left\vert x + y\right\vert \leq\left\vert x\right\vert + \left\vert y\right\vert$ ,

$\left\vert x + y \right\vert \leq x + y,$ diskutera när det gäller likhet.
d) $\ \left\vert x - y\right\vert \geq \left\vert \left\vert x\right\vert - \left\vert y\right\vert\right\vert$ .

$\left\vert x-y \right\vert \geq x-y.$

4. Lös
a) $\ \left\vert 2x+3\right\vert > 5$ .

$\left\vert 2x + 3 \right\vert > 5.$
b) $\ \left\vert x-1\right\vert = \left\vert x-3\right\vert$ .

$\left\vert x-1 \right\vert = x-3.$
c) $\frac{\left\vert x-1\right\vert}{\left\vert x-3\right\vert} \geq 2$ .

$\frac{x-1}{x-3} \geq 2.$
d) $\ 2\left\vert x+5\right\vert +4\left\vert x-4\right\vert =5\left\vert\ x+1\right\vert$ (eller $\ 2\left\vert x+5\right\vert +4\left\vert x-4\right\vert <5\left\vert\ x+1\right\vert$ ).

$2x + 5 + 4x - 4 = 5x + 1$ (eller $2x + 5 + 4x - 4 < 5x + 1$ .

C. mera avanverade uppgifter

Beloppet för punkter (vektorer) i planet (för komplexa tal):
För två punkter P₁ = (x,y) och P₂ = (a,b) i planet (för två ortsvektorer $\bf{ x }$ $=\overrightarrow{OP_{1}}=(x,y)$ $\mathbf{x} = \overrightarrow{OP_1} = (x,y)$ och $\bf{a}$ $=\overrightarrow{OP_{2}}=(a,b)$ $\mathbf{a} = \overrightarrow{OP_2} = (a,b)$ ,
för två komplexa tal $\bf$ ${x}=x+iy$ $\mathbf{x} = x + iy$ och $\bf$ ${a}=a+ib$ ) $\mathbf{a} = a + ib$ är
$\left\vert \bf{x}\right\vert$ $= \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ $\mathbf{x} = \sqrt{x^2 + y^2}$ längden av vektorn $\bf{x}$ $=\overrightarrow{OP_{1}}$ $\mathbf{x} = \overrightarrow{OP_1}$ ( = avståndet mellan punkten P₁ och origo),
$\left\vert \bf x-\bf a\right\vert$ $= \sqrt{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}$ $\mathbf{x} - \overrightarrow\math{bf} = \sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2)}$ avståndet mellan x och a (Pytagoras, rita!).

5. Visa att för vektorer i planet (för komplexa tal) x , y gäller
a) $\ 0\leq \left\vert \bf{x}\right\vert$ $= \left\vert -\bf{x}\right\vert$ . $0 \leq \mathbf{x} = -\mathbf{x}.$
b) Reglerna i uppg. 3 gäller för komplexa tal x , y ; 3c och 3d gäller för vektorer x , y .
c) För komplexa tal x gäller $\left\vert \bf{x}\right\vert$ $=\left\vert \overline{\bf{x}}\right\vert$ $=\sqrt{\bf{x}}$ $\cdot \overline{\bf{x}}$ ( $\overline{\bf{x}}$ $=x-iy\text{ d� }\bf{x}=x+iy$ ).
d) Lös $\ \left\vert \bf{x}-(1,2)\right\vert<\frac{1}{2}$ .

Belopp

Belopp

Info

Material

Medverkande

MATTESHERPA