Belopp

Samuel Bengmark Uppgift 17 november, 2021 | 0

DEFINITION

För ett reellt tal x definieras |x|, “beloppet av x“, genom
$\left\vert x \right\vert =\left\{ \begin{array}{c}-x \text{, d� } x<0 \\0 \text{, \ d� } x=0 \\ x \text{, \ d� \ } x>0 \end{array} \right.$ .

Geometriskt innebörd
Representeras de reella talen som punkter på (den reella) tallinjen s� anger |x| avst�ndet (i l�ngdenheter, l.e.) mellan punkten x och origo.

EXEMPEL
Punkterna 3 och -3 ligger 3 l.e. fr�n origo: |3| = |-3| = 3.

UPPGIFTER

A. förberedande uppgifter

1. Visa att f�r reella tal x, a, A, A > 0 g�ller
a) $\ 0\leq\left\vert x\right\vert=\left\vert -x\right\vert$ .
b) $\ \left\vert\ x\right\vert \leq A\Leftrightarrow-A\leq x\leq A, \ \left\vert x\right\vert \geq A\Leftrightarrow (A\leq x\text{ eller } x\leq -A)$ .
c) $\ \pm x\leq \left\vert x\right\vert$ .
d) $\ \left\vert x-a\right\vert = \left\vert a-x\right\vert =\text{ avst�ndet mellan } x \text{ och } a$ .

2. L�s (dvs. “best�m samtliga reella x som satisfierar”)
a) $\ \left\vert x-2\right\vert = 3$ .
b) $\ \left\vert x+3\right\vert = 2$ .
c) $\ \left\vert x-3\right\vert < 1$ .

B. vanliga uppgifter

3. Visa att f�r reella x, y g�ller
a) $\ \left\vert x\cdot y\right\vert =\left\vert x\right\vert \cdot\left\vert y\right\vert$ .
b) $\ \left\vert \frac{x}{y}\right\vert = \frac{\left\vert x\right\vert}{ \left\vert y\right\vert} \ (y\neq 0)$ .
c) $\ \left\vert x + y\right\vert \leq\left\vert x\right\vert + \left\vert y\right\vert$ , diskutera n�r det g�ller likhet.
d) $\ \left\vert x - y\right\vert \geq \left\vert \left\vert x\right\vert - \left\vert y\right\vert\right\vert$ .

4. L�s
a) $\ \left\vert 2x+3\right\vert > 5$ .
b) $\ \left\vert x-1\right\vert = \left\vert x-3\right\vert$ .
c) $\frac{\left\vert x-1\right\vert}{\left\vert x-3\right\vert} \geq 2$ .
d) $\ 2\left\vert x+5\right\vert +4\left\vert x-4\right\vert =5\left\vert\ x+1\right\vert$ (eller $\ 2\left\vert x+5\right\vert +4\left\vert x-4\right\vert <5\left\vert\ x+1\right\vert$ ).

C. mera avanverade uppgifter

Beloppet f�r punkter (vektorer) i planet (f�r komplexa tal):
F�r tv� punkter P₁ = (x,y) och P₂ = (a,b) i planet (f�r tv� ortsvektorer $\bf{ x }$ $=\overrightarrow{OP_{1}}=(x,y)$ och $\bf{a}$ $=\overrightarrow{OP_{2}}=(a,b)$ ,
f�r tv� komplexa tal $\bf$ ${x}=x+iy$ och $\bf$ ${a}=a+ib$ ) �r
$\left\vert \bf{x}\right\vert$ $= \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ l�ngden av vektorn $\bf{x}$ $=\overrightarrow{OP_{1}}$ ( = avst�ndet mellan punkten P₁ och origo),
$\left\vert \bf x-\bf a\right\vert$ $= \sqrt{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}$ avst�ndet mellan x och a (Pytagoras, rita!).

5. Visa att f�r vektorer i planet (f�r komplexa tal) x , y g�ller
a) $\ 0\leq \left\vert \bf{x}\right\vert$ $= \left\vert -\bf{x}\right\vert$ .
b) Reglerna i uppg. 3 g�ller f�r komplexa tal x , y ; 3c och 3d g�ller f�r vektorer x , y .
c) F�r komplexa tal x g�ller $\left\vert \bf{x}\right\vert$ $=\left\vert \overline{\bf{x}}\right\vert$ $=\sqrt{\bf{x}}$ $\cdot \overline{\bf{x}}$ ( $\overline{\bf{x}}$ $=x-iy\text{ d� }\bf{x}=x+iy$ ).
d) L�s $\ \left\vert \bf{x}-(1,2)\right\vert<\frac{1}{2}$ .

Belopp

Belopp

Info

Material

Medverkande

MATTESHERPA