Brännpunkten

[latexpage]

Uppgift

Betrakta parabeln {$ y=f(x), f(x)=kx^{2}, k>0 $}. Antag att ovansidan kan reflektera ljus. Låt en ljusstråle infalla parallellt med ”y”-axeln, längs linjen {$ x=a $}. Den kommer att reflekteras i punkten {$ P:(a,f(a)) $} enligt reflexionslagen, som säger att infallsvinkeln = reflexionsvinkeln. (Infallsvinkeln är vinkeln mellan den infallande strålen och normalen till kurvan i ”P”; reflexionsvinkeln är vinkeln mellan den reflekterade strålen och samma normal.) Den reflekterade strålen kommer att reflekteras rakt uppåt om ”a”=0 reflekteras så att den skär ”y”-axeln i {$ Q:(0,b) $} om {$ a\not=0 $}. Visa att ”b” är oberoende av ”a”!

Anmärkning: (0,”b”) kallas parabelns brännpunkt. Ett annat sätt att formulera frågan är alltså: Visa att strålar som infaller längs {$ x=a $} reflekteras mot brännpunkten oavsett värdet på {$ a $}.
Anmärkning 2: Uppgiften är avsedd att lösas utan kännedom om begreppet ”styrlinje”, som kanske inte är känt av gymnasieelever.

Av Anders Karlsson