[latexpage]Förkunskaper: Ma2, Ma3, 3-grad, ekvation, polynom, bevis, teknisk färdighet Lösningsförslag inkl elevtips: (a) Substitutionen $ x=t+k $ ger $$ t^3+(3k+a)t^2+(3k^2+2ak+b)t+k^3+ak^2+bk+c=0.$$ Välj $ k=-\frac a3 $ för att få koefficienten framför $ t^2 $ noll. Då blir konstanten och koefficienterna framför $ t $ $$p = b – \frac{a^2}{3}.$$ $$ q=\frac{2a^3}{27}-\frac{ab}{3}+c.$$ (b) Sätt $$ \left{ \begin{array}{l}…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Ma4 Lösningsförslag inkl elevtips:Ellipsens ekvation är $ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 $ dvs $ b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2 $. Med implicit derivering (dvs antag att $ y=y(x) $ och derivera m.a.p. x) fås $ b^22x+a^22yy'(x)=0 $ varav följer att $ y’=-\frac{b^2}{a^2}\frac{x}{y} $. Antag att $ P=(x_0,y_0) $ med $ x_0>0, y_0>0 $. Då är tangentens riktningskoefficienten $ k_t=-\frac{b^2}{a^2}\frac{x_0}{y_0} $ och…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Ma4 Lösningsförslag inkl elevtips:Kontroll: $ (x_0,y_0)=(2,1) $ ligger på kurvan ty $ 8-6+4-5=1 $. Tangentens ekvation ges av $ y-y_0=k_t(x-x_0) $ där $ k_t=f'(x_0) $. Metod 1: Använd implicit deriviering, dvs antag att $ y=y(x) $ och derivera map $ x $. Då fås $ 4x-3+8y(x)y'(x)-5y'(x)=0 $ $$ y'(x)=-\frac{4x-3}{8y(x)-5} $$ där $ (x_0,y_0)=(2,1) $…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Ma4 Lösningsförslag inkl elevtips:Sätt $ f(x)=4\left( \frac{2x^2+3x+4}{3x^2+2x+1}\right)^2 = 4(g(x))^2$, där $$ g(x)=\frac{2x^2+3x+4}{3x^2+2x+1} $$ Tangentens ekvation ges av $ y-y_0=k_t(x-x_0) $ där $ k_t=f'(x_0) $. Vi har $x_0=1$ som ger $$ y_0=4\left(\frac{2+3+4}{3+2+1} \right)^2 = 9 $$ Kedjeregeln ger då att $$ \displaystyle f'(x)=4\cdot 2\cdot g(x) \cdot g'(x) $$ där $$ g'(x)= \frac{ (4x+3)(3x^2+2x+1)-(6x+2)(2x^2+3x+4) }{ (3x^2+2x+1)^2…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Ma4, tangentens ekvation, normalens ekvation, kedjeregeln.Syfte: En klassisk tangentuppgift där man får prova sina kunskaper om kedjeregeln och tangentens/normalens ekvation. Lösningsförslag inkl elevtips:Svar: Tangenten har ekvation 3y-2x=10 och normalen ekvation 3x+2y=24. Lösning: Sätt $ f(x)=\sqrt{7x+4\sqrt{x}}=\sqrt{g(x)} $, där $ g(x)=7x+4\sqrt{x} $. Tangentens ekvation ges av $ y-y_0=k_t(x-x_0) $ där $ k_t=f'(x_0) $. Vi har $x_0=4$…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Ma3 Lösningsförslag inkl elevtips:Lösning: Vi noterar första att det är tillräckligt att visa påståendet för kurvan $y=ax^2$. Det är geometriskt uppenbart att detta är möjligt, vi flyttar hela ”situationen” i sid- och höjdled så att kurvans vertex hamnar i origo. Då blir b=c=0. Låt nu $(x_1, ax_1^2)$ och $(x_2, ax_2^2)$ vara två (olika) punkter…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Derivata av polynom, räta linjens ekvation på enpunktsform, Ma3.Syfte: Att bevisa ett vackert samband mellan tredjegradsekvationers reella rötter. Lösningsförslag inkl elevtips:Tips: Pröva gärna först att påståendet gäller för en vald tredjegradskurva. [För t.ex. y = f(x) = (x-4)(x-2)(x+2) ska tangenten i x = 3 gå genom (-2,0), tangenten i x = 1 gå genom…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Ma4, triangelns vinkelsumma, additionsformler för trigonometriska funktioner.Syfte: Problemlösning med träning av teknisk färdighet av trigonometriska beräkningar. Lösningsförslag inkl elevtips:Steg 1: I en triangel är $A+B+C=\pi$, dvs $C=\pi-A-B$. Då är $ \displaystyle \begin{array}{rl} \tan C=& \\ =& \tan(\pi-A-B) \\ =& \frac{\sin(\pi-A-B)}{\cos(\pi-A-B)} \\ =& \frac{\sin(A+B)}{-\cos(A+B)} \\ =& -\frac{\sin A\cos B+\cos A\sin B}{\cos A\cos B-\sin A\sin B}…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Ma4 Lösningsförslag inkl elevtips: Sinussatsen ger $\frac{\sin\alpha}{2R}=\frac{\sin\gamma}{A}$ Se bild: Låt avståndet från den vita kulan till hålet vara B. Vinkeln $\alpha$ anger hur snett biljardkulan stöts. Vi vill nu maximera avståndet mellan hålet och platsen där den svarta kulan träffar sargen. Detta avstånd ges av $ (B-A)\sin\beta $ Eftersom din motspelar är mycket duktig…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Ma2Syfte: Träna funktionssymbolen f(x), göra en förenkling som påminner om den som förekommer i derivataräkning, lösa enkelt ekvationssystem, se en teleskoperande summa. Lösa ett relativt svårt problem med enkla verktyg. Lösningsförslag inkl elevtips:Tips: Betrakta tredjegradspolynomet $p(x) = x^3 + ax^2+bx+c$ och förenkla uttrycket $p(x+1)-p(x)$. Välj konstanterna a, b och c så att $p(x+1)-p(x) =…
Läs mer
© 2021 MATTESHERPA. Byggt av Matematiska Vetenskaper
