[latexpage]Förkunskaper: Ma4 Lösningsförslag inkl elevtips:Tips: Försök illustrera påståendena med grafer. Lösning:Båda påståendena är falska! För funktionen $f(x) = \frac{\sin x^2}{x}$ gäller att $f(x) \to C=0$ men inte $f'(x) \to 0$ då $x \to \infty$. För funktionen $f(x) = \ln x$ gäller att $f'(x) \to 0$ men inte $f(x) \to C$ då $x \to \infty$. Nästa…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Ma3Syfte: Öva problemlösning med trigonometri, speciellt sinussatsen. Lösningsförslag inkl elevtips:Avstånd mellan intilliggande hörn. Medelpunktsvinkeln $c_1$ för radierna i n-hörningen som går igenom två hörn intilliggande hörn är $$ c_1=\frac{2\pi}{n}.$$ Om $d_1$ betecknar avståndet mellan två intilligande hörn säger då sinussatsen att $$\frac{d_1}{\sin{\frac{2\pi}{n}}}=\frac{r}{\sin \alpha}$$ där $c_1+2\alpha =\pi $, dvs $\alpha=\pi (\frac{1}{2}-\frac{1}{n})$. Detta ger då att…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Bisektriser, Triangelns area. Ma2.Syfte: Få kännedom om in- och vidskrivna cirklar. Lösningsförslag inkl elevtips: $T = \frac{{ar}}{2} + \frac{{br}}{2} + \frac{{cr}}{2} = \frac{{ar + br + cr}}{2} = r\frac{{a + b + c}}{2} = rp$ Alltså är $r = \frac{T}{p}$ Vidskriven cirkel $T_{ABC}$ = $T_{ACO}+T_{ABO}-T_{BCO} = \frac{{br_a }}{2} + \frac{{cr_a }}{2} – \frac{{ar_a }}{2}=…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Ma2, Ma3, Ma4, Ma5 Syfte: Att kunna sammanfatta sina kunskaper utifrån enkla förutsättningar och därefter utföra ett bevis. Lösningsförslag inkl elevtips:i) Notera först att påståendet är ekvivalent med att åtminstone ett tal i trippeln alltid är jämnt, dvs. delbart med $2$. Notera sedan att kvadraten på ett udda tal alltid är udda och kvadraten…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Egentligen kräver denna uppgift inget annat än enkel geometri (liksidig triangel, Pytagoras). Men man måste troligtvis ge några tips hur man skall börja. Ma2. Lösningsförslag inkl elevtips:Se figuren: Rita den liksidiga triangeln PCF med sidorna 3, då är trianglarna PCB och FAC kongruenta ($ AC = BC, FC = PC = 3$ och $\angle…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Enkel algebra (bråkräkning); enkel geometri (rektangel). Ma2. Ma3.Syfte: Träna att räkna med bråk och att lösa en kvadratisk ekvation genom att bekanta sig med (lära känna) gyllene snittet (talet ”Φ”). Lösningsförslag inkl elevtips:Börja med att rita upp sträckan med längd $a + b$ och delsträckorna med längd b resp. längd $a, b > a.$…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Ma1, algebraSyfte: Se samband mellan tal på decimal form och på bråkform. Öva manipulation av algebraiska uttryck. Lösningsförslag inkl elevtips:Metod 1: Om talet T har periodisk decimalutveckling med periodlängd $ n $ och där första perioden börjar vid decimal s, så får $ T\cdot 10^s\cdot 10^n $ samma decimalutveckling som $ T \cdot 10^s…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Ma4. Sambandet mellan derivata och integral. Linearitet för integrering.Syfte: Få upptäcka partiell integration genom ett konkret exempel. Lösningsförslag inkl elevtips:Derivering med produktregeln ger $ D(xe^x) = D(x)e^x+xD(e^x) = e^x+xe^x $. Vi ser att $ xe^x $ dyker upp som en term i sin egen derivata. Flyttar över och får $ xe^x = D(xe^x)-e^x $.…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Algebra, bråk, kvoter, olikhet. Ma1, Ma2, Ma3. Syfte: Jobba med olikhet, olikhet och tecken, olikhet och produkt samt teckentabell Lösningsförslag inkl elevtips:Bilda $ f(x)= $ VL-HL och undersök när $ f(x)\leq 0 $ . Vi får $$ \begin{array}{rl}f(x)=&\frac{2x+3}{3x+2}-\frac{2x+1}{x+2}=\\ =& \frac{(2x+3)(x+2)-(2x+1)(3x+2)}{(3x+2)(x+2)}= \\ =& \frac{ -4x^2+4 }{ (3x+2)(x+2) } = \frac{ -4(x-1)(x+1) }{ 3(x+\frac 23)(x+2) }…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Ma1, olikheterSyfte: Öva lösning av olikheter. Skapa förståelse för att vi måste handskas försiktigt med uttryck vars värde vi inte vet ($ x $ är ju inte nödvändigtvis positivt). Lösningsförslag inkl elevtips:Elevtips: Är $ x $ positivt eller negativt, och vad gör det för skillnad? Lösningsförslag: Då vi multiplicerar båda led av en olikhet…
Läs mer
© 2021 MATTESHERPA. Byggt av Matematiska Vetenskaper
