Uppgift [latexpage]En pytagoreisk trippel är tre positiva heltal $a$,$b$ och $c$ där $ a^2+b^2=c^2.$ Exempel på sådana tripplar är $(3,4,5)$, $(5,12,13)$ och $(6,8,10)$. Din uppgift:i) Visa att det inte finns någon pytagoreisk trippel med tre udda tal.ii) Visa att minst ett tal i varje pytagoreisk trippel är delbart med fem.iii) Finns det fler tal än…
Läs mer
Uppgift Det finns en 4 meter hög skärm upphängd på en husvägg vid ett plant vågrätt torg. På vilket avstånd skall du stå för att se det som finns på skärmen så bra som möjligt om skärmens nederkant hänger 9,5 meter över marken om vi antar att du har dina ögon 1,5 meter över marken?
[latexpage]Förkunskaper: Trigonometriska funktioner, faktoruppdelning av polynom, derivata. Ma4Syfte: Att träna att tillämpa derivatan för att konstruera kurvor; dessutom träning att räkna med trigonometriska funktioner. Lösningsförslag inkl elevtips:Tips: observera att funktionen $ f(x)=sin(x)+\frac{1}{2}sin(2x)+\frac{1}{3}sin(3x) $ har perioden $ 2\pi $ och är udda ($ f(-x)=-f(x) $), det räcker alltså att konstruera kurvan för, säg, $ 0<x<\pi $;…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Ma4 Lösningsförslag inkl elevtips:a) Låt $p_1(x) = ax+b$. Då får vi $p_0 \cdot p_1 = \int_{-1}^1 1 \cdot (ax+b) dx= [ax^2/2 + bx]_{-1}^1 = 2b$. Detta ska vara noll så b=0, medan a är godtyckligt. Det finns alltså oändligt många val av $p_1$. Det enklaste är kanske $p_1(x )= x$. b) Låt $p_2(x) =…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Ma 3: geometrisk summa. Ma 4: trigonometriska identiteter, trigonometriska ekvationerSyfte: att öva trigonometriska ekvationer Lösningsförslag inkl elevtips:Summorna i täjlaren respektiv i nämnaren i den givna ekvationen kan beräknas med hjälp av en formel för en geometrisk summa. Den geometriska summan $ S_{n}= \frac{a_{1}(1 – k^{n})}{1 – k} $ kommer att närma sig $ \frac{a_{1}}{1-k}…
Läs mer
[latexpage]Betrakta tredjegradsekvationen $ \lambda^3 – 2\lambda^2 +a\lambda + (1-a)=0 $ där $ a $ är ett reellt tal. i) Lös ekvationen för några olika värden på $ a $. ii) Visa att ekvationen har en positiv reell heltalsrot för alla värden på $ a $. iii) Låt lösningarna vara $ \lambda_1, \lambda_2 $} och {$…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Ma4, Ma5Syfte: Uppgiften ger eleven möjligheten att gissa en heltalslösning (ekvationen har roten $ \lambda=1, \forall a \in \mathbb{R} $) och sedan polynomdividera bort en faktor $ \lambda – 1 $. Lösningsförslag inkl elevtips:ii) När eleven kommit underfund med att $ \lambda = 1 $ för vilket $ a $ man än väljer, t.ex.…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Ma4 Lösningsförslag inkl elevtips:Ellipsens ekvation är $ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 $ dvs $ b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2 $. Med implicit derivering (dvs antag att $ y=y(x) $ och derivera m.a.p. x) fås $ b^22x+a^22yy'(x)=0 $ varav följer att $ y’=-\frac{b^2}{a^2}\frac{x}{y} $. Antag att $ P=(x_0,y_0) $ med $ x_0>0, y_0>0 $. Då är tangentens riktningskoefficienten $ k_t=-\frac{b^2}{a^2}\frac{x_0}{y_0} $ och…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Ma4 Lösningsförslag inkl elevtips:Kontroll: $ (x_0,y_0)=(2,1) $ ligger på kurvan ty $ 8-6+4-5=1 $. Tangentens ekvation ges av $ y-y_0=k_t(x-x_0) $ där $ k_t=f'(x_0) $. Metod 1: Använd implicit deriviering, dvs antag att $ y=y(x) $ och derivera map $ x $. Då fås $ 4x-3+8y(x)y'(x)-5y'(x)=0 $ $$ y'(x)=-\frac{4x-3}{8y(x)-5} $$ där $ (x_0,y_0)=(2,1) $…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Ma4 Lösningsförslag inkl elevtips:Sätt $ f(x)=4\left( \frac{2x^2+3x+4}{3x^2+2x+1}\right)^2 = 4(g(x))^2$, där $$ g(x)=\frac{2x^2+3x+4}{3x^2+2x+1} $$ Tangentens ekvation ges av $ y-y_0=k_t(x-x_0) $ där $ k_t=f'(x_0) $. Vi har $x_0=1$ som ger $$ y_0=4\left(\frac{2+3+4}{3+2+1} \right)^2 = 9 $$ Kedjeregeln ger då att $$ \displaystyle f'(x)=4\cdot 2\cdot g(x) \cdot g'(x) $$ där $$ g'(x)= \frac{ (4x+3)(3x^2+2x+1)-(6x+2)(2x^2+3x+4) }{ (3x^2+2x+1)^2…
Läs mer
© 2021 MATTESHERPA. Byggt av Matematiska Vetenskaper
