[latexpage]Förkunskaper: Ma4 Lösningsförslag inkl elevtips:Tips: Försök illustrera påståendena med grafer. Lösning:Båda påståendena är falska! För funktionen $f(x) = \frac{\sin x^2}{x}$ gäller att $f(x) \to C=0$ men inte $f'(x) \to 0$ då $x \to \infty$. För funktionen $f(x) = \ln x$ gäller att $f'(x) \to 0$ men inte $f(x) \to C$ då $x \to \infty$. Nästa…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Ma2, Ma3, Ma4, Ma5 Syfte: Att kunna sammanfatta sina kunskaper utifrån enkla förutsättningar och därefter utföra ett bevis. Lösningsförslag inkl elevtips:i) Notera först att påståendet är ekvivalent med att åtminstone ett tal i trippeln alltid är jämnt, dvs. delbart med $2$. Notera sedan att kvadraten på ett udda tal alltid är udda och kvadraten…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Ma4. Sambandet mellan derivata och integral. Linearitet för integrering.Syfte: Få upptäcka partiell integration genom ett konkret exempel. Lösningsförslag inkl elevtips:Derivering med produktregeln ger $ D(xe^x) = D(x)e^x+xD(e^x) = e^x+xe^x $. Vi ser att $ xe^x $ dyker upp som en term i sin egen derivata. Flyttar över och får $ xe^x = D(xe^x)-e^x $.…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Ma4Syfte: Träna algebraiska manipulationer, derivera en kvot, se koppling mellan derivatans tecken och växande/avtagande, repetera defintionen av talet e Lösningsförslag inkl elevtips:En praktisk notation är $n^{n-1} ? (n-1)^n$ där vi alltså ska bestämma ? som ett olikhetstecken. Lösningsförslag 1 Tips: Logaritmera, stuva om och studera en lämplig funktion med avseende på växande/avtagande. Lösning: Fallet…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Trigonometriska formler. Ma4. Rekursiva talföljder. Ma5. Syfte: Uppnå ökade färdigheter när det gäller trigonometriska formler samt att göra en beräkning av närmevärden till $\pi$ med en rekursiv talföljd. Lösningsförslag inkl elevtips:a. $\cos 2x = \cos ^2 x – \sin ^2 x = 1 – 2\sin ^2 x$ ger $\sin \frac{x}{2} = \sqrt {\frac{{1 –…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Enkel geometri: triangel, omskriven cirkel. MaA, MaB. Fermatpunkten (denna uppgift borde göras först). För tillägget behövs additionsteoremet för cosinus och cosinussatsen. Ma4. Syfte: Se Fermatpunkten. Lösningsförslag inkl elevtips:Vi betecknar omskrivna cirklarnas mittpunkter med MA, MB och MC och skärningspunkten mellan dessa tre cirklarna med P (det är Fermatpunkten), se figur. Sträckan mellan MB och…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Ma4: trigonometriska ettan, formler för dubbla vinkleln, ev. Kvadratkomplettering (Ma 2)Syfte: att öva trigonometriska formler Lösningsförslag inkl elevtips:Det minsta möjliga värdet för summan $ sin 4v + cos 4v$ kan bestämmas på två olika sätt : med derivatametoden eller med kvadratkomplettering. Vi kompletterar $ sin^{4}v + cos^{4}v $ med $ 2\cdot sin^{2}v \cdot cos^{2}v…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Man behöver kunna ”sinus”/”cosinus” för $60^o$ och additionsteoremet för ”sinus”, inga tips behövs. Ma4. Lösningsförslag inkl elevtips: Med beteckningarna enligt figur fås t. ex. $ \frac{b}{x}=sin(\alpha), \frac{a}{x}=sin(\frac{\pi}{3}-\alpha)\Rightarrow\frac{ab}{x}=asin(\alpha)=bsin(\frac{\pi}{3}-\alpha) $ $ \Rightarrow asin(\alpha)=b(sin(\frac{\pi}{3})cos(\alpha)-cos(\frac{\pi}{3})sin(\alpha)) $ $ \Rightarrow asin(\alpha)=b(\frac{\sqrt{3}}{2}cos(\alpha)-\frac{1}{2}sin(\alpha))\Rightarrow(2a+b)sin(\alpha)=\sqrt{3}bcos(\alpha) $ $ \Rightarrow tan(\alpha)=\frac{\sqrt{3}b}{2a+b} $ $\Rightarrow x=\frac{b}{sin(\alpha)}=\frac{b\sqrt{4a^{2}+4ab+4b^{2}}}{\sqrt{3}b}=\frac{2\sqrt{a^{2}+ab+b^{2}}}{\sqrt{3}} $ $ sin(\alpha) $ fick vi med hjälp av en rätvinklig triangel:…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Trigonometriska summaformler. Areasatsen. Ma4Syfte: Uppnå insikter i begreppet orientering, kryssprodukt Lösningsförslag inkl elevtips:Låt (a, b) och (c, d) vara punkter i ett koordinatsystem. Vi undersöker uttrycket $ad – bc$ Man inser att $\left( {a,b} \right) = \left( {r_1 \cos u,r_1 \sin u} \right)$ och $\left( {c,d} \right) = \left( {r_2 \cos v,r_2 \sin v}…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Ma4: triangelsatser, cirkelsegmentets area.Syfte: Att öva geometriska och trigonometriska begrepp i areaberäkningar i sammansatta geometriska figurer Lösningsförslag inkl elevtips:Den gemensamma arean $ A $ är summan av fyra lika stora cirkelsegmentsareor MPN, NQK, KTL, LRM ( $ A_{1} $) och arean på en kvadrat MNKL $ A_{2} $. Triangeln $ ABN $ och triangeln…
Läs mer
© 2021 MATTESHERPA. Byggt av Matematiska Vetenskaper
