[latexpage] Förkunskaper: Ma1. Faktorsatsen. Syfte: Träna algebraisk räkning (polynomhantering). Lösningsförslag inkl. elevtipsMan vet att ett polynom med reella koefficienter kan skrivas som en produkt av polynom med reella koefficienter av grad högst 2, faktorerna är (”x” – ”a”) och (”x” – ”b”) då ”a”, ”b” är reella nollställen, resp. (”x” – (”α” + ”jβ”)) och…
Läs mer
[latexpage] Förkunskaper: Ma1: det aritmetiska medelvärdet, det geometriska medelvärdet (överkurs). Syfte: Att förstärka förståelse för två olika slags medelvärden, att öva algebra. Lösningsförslag inkl. elevtipsVi använder sambandet mellan det aritmetiska och det geometriska medelvärdet tre gånger $ \frac{1}{2}(\frac{bc}{a}+ \frac{ac}{b})\geq \sqrt{\frac{bc}{a}\cdot \frac{ac}{b}}= c $. På samma sätt $ \frac{1}{2}(\frac{ac}{b}+ \frac{ab}{c})\geq a $ och $ \frac{1}{2}(\frac{ab}{c}+ \frac{bc}{a})\geq…
Läs mer
[latexpage] Förkunskaper: Ma1, Algebra Lösningsförslag inkl. elevtips Om $ (x,y) $ är en punkt på ellipsen så gäller enligt avståndsformeln att $ \sqrt{(x-c)^2+y^2}+\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a$ med $ a>c $. Överflyttning och kvadrering ger $ (x-c)^2+y^2=4a^2+(x+c)^2+y^2-4a\sqrt{(x+c)^2+y^2} $ där förenkling ger att $ a\sqrt{(x+c)^2+y^2}=a^2+xc $. Ytterligare kvadrering ger att $ a^2(x^2+2xc+c^2+y^2)=a^4+2a^2xc+x^2c^2 $ dvs $ (a^2-c^2)x^2+a^2y^2=(a^2-c^2)a^2 $. Resultatet fås genom…
Läs mer
[latexpage] Förkunskaper: Ma1, Enkel algebra och förståelse för delbarhet krävs. Med kunskaper i kongruensräkning kan man förenkla framställningen. Syfte: Lära sig bevisföring. Lösningsförslag inkl. elevtipsLåt talet $N$ vara den $n+1$-siffriga talet $N=a_{n}a_{n-1}\cdots a_1a_0$. I det decimala positionsystemet betyder detta att $$N=a_{n}10^{n}+a_{n-1}10^{n-1}+\cdots +a_1 10+a_0.$$ (a) Eftersom $$ \left{\begin{array}{c} 10=3\cdot 3+1\\ 100=3\cdot 33+1\\ 1000=3\cdot 333+1\\ \vdots \end{array}…
Läs mer
[latexpage] Förkunskaper: Inget utöver vanlig geometri (arean av trianglar) krävs. Ma1. Syfte: Träna upp färdigheten att med enkla geometriska medel visa ett samband (en intrssant formel). Lösningsförslag inkl. elevtips$$ \frac{\left| area (APB)\right| }{\left| area (APC)\right| }=\frac{½h\left\vert BD\right\vert }{½h\left\vert DC\right\vert }=\frac{\left\vert BD\right\vert }{\left\vert DC\right\vert }. $$ På samma sätt fås $$ \frac{\left| area (ABD)\right| }{\left| area…
Läs mer
[latexpage] Förkunskaper: Denna uppgift kräver ingenting utöver vanlig geometri (arean av rektangel); vi använder dock satsen om ”cevianer” som borde alltså göras först. Ett annat bevis fås med satsen av ”Menelaos”. Ma1. Ma2. Syfte: Denna uppgift skall träna upp färdigheten att kunna se geometriska samband och därmed bevisa intressanta satser (som i ”tillämpningar”). Lösningsförslag inkl.…
Läs mer
Förkunskaper: Positionssystemet (dvs inga särskilda förkunskaper) Syfte: Träna algebra, bevisföring, fördjupa förståelsen för positionssystemet samt skillnaden mellan ”tal ” och ”siffror”. Lösningsförslag inkl. elevtipsElevtips: Antag att talen nr 1 och 2 är 100a+10b+c respektive 100c+10b+a. Antag vidare att 100a+10b+c är det största av dem, så att a>c.Lösningsförslag: Se elevtips. Bilda därefter differensen, dvs tal 3:…
Läs mer
Uppgift Visa att
Uppgift (a) Bevisa att ett positivt heltal ( skrivet i decimalsystemet ) är delbart med 3 om och endast om summan av siffrorna i talet är delbart med 3. (b) Bevisa motsvarande uppgift om delbarhet med 9.
© 2021 MATTESHERPA. Byggt av Matematiska Vetenskaper
