En Diofantisk Ekvation
Uppgift Sök alla par av heltal, (n, m), som satisfierar ekvationen .
Uppgift Sök alla par av heltal, (n, m), som satisfierar ekvationen .
Uppgift Visa att
Uppgift En ellips är en kurva som består av alla punkter vilkas avstånd till två givna punkter (brännpunkterna) har en given konstant summa. Visa att ellipsens ekvation kan skrivas om brännpunkterna är och och den givna summan är samt .
Uppgift Låt vara ett polynom av grad två eller högre. Låt säga att du ritar grafen (på lämpligt intervall) . Om har vissa egenskaper, kan du dra en tangent till kurvan som tangerar kurvan i två olika punkter, låt oss kalla det en ”’dubbeltangent’”. Vilken egenskap måste ha för att detta ska vara möjligt? Gäller omvändningen, d.v.s. har alla polynom…
Läs mer
Uppgift ”Jag har kommit på ett märkligt samband” sa en av mina MaC-elever. ”Om jag deriverar formeln för cirkelns area så får jag formeln för cirkelns omkrets!”, fortsatte han. ”Varför blir det så?” Eftersom jag gått lärarutbildning och lärt mig att man ska problematisera så ställde jag istället motfrågorna: ”Gäller samma sak om du deriverar…
Läs mer
Uppgift [latexpage] Låt $f$ och $g$ vara funktioner av en reell variabel, säg, $x$. Derivatan (med avseende på $x$, underförstås i fortsättningen) av produkten $fg$ ges av det välkända sambandet $(fg)’=f’g+fg’$. (Vi förutsätter att alla inblandade derivator faktiskt existerar).
Uppgift En triangel har sidlängderna a, b och c. Triangelns area är T och radien till den omskrivna cirkeln är R. Visa att
Uppgift (a) Bevisa att ett positivt heltal ( skrivet i decimalsystemet ) är delbart med 3 om och endast om summan av siffrorna i talet är delbart med 3. (b) Bevisa motsvarande uppgift om delbarhet med 9.
Uppgift [latexpage] CEVIANER En sträcka från en hörnpunkt i en triangel till en punkt på motsatta sidan kallas ’cevian’. Låt $ABC$ vara en godtycklig triangel, $F$ en punkt på triangelsidan $AB$, $D$ en punkt på triangelsidan $BC$ och $P$ skärningspunkten mellan cevianerna $AD$ och $CF$. Visa att (”satsen om cevianer”). ANMÄRKNING Med denna sats kan du visa Cevans sats.
Uppgift [latexpage]Visa satsen av Ceva (Giovanni Ceva, 1684-1734): För en godtycklig triangel $ABC$ och punkter $D$, $E$ och $F$ på triangelns sidor ($D$ ligger på $BC$, $E$ på $CA$, $F$ på $AB$) gäller: Sträckorna $AD$, $BE$ och $CF$ skär varandra i en punkt om och endast om\begin{equation*}\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1.\end{equation*} TILLÄMPNING Visa a) Satserna att bisektriserna, höjderna och medianerna i en triangel skär varandra i en punkt. b) Gergonnes sats (se Gergonnepunkten).
© 2021 MATTESHERPA. Byggt av Matematiska Vetenskaper