Kategori: Uppgift

Uppgift En hyperbel är en kurva som består av alla punkter vilkas avstånd till två givna punkter (brännpunkterna) har en given konstant skillnad. Visa att hyperbelns ekvation kan skrivas.  om brännpunkterna är  och  och om den givna skillnaden är  samt .

Uppgift Sök ett uttryck i a, b, c och p för arean, T, av en triangel med sidlängderna a, b och c . p är hälften av triangelns omkrets. Visa att det uttryck för arean du härlett är symmetriskt i a, b och c, d.v.s. det skall bli oförändrat om du låter a, b och c byta plats. Ett sådant uttryck säges vara symmetriskt.

Uppgift Låt . Visa att  då , eller med andra ord att  kan fås godtyckligt stort om bara antalet termer, , i summan väljs tillräckligt stort.

Uppgift (Joseph Diaz Gergonne, 1771-1859) Låt ABC vara en godtycklig triangel och punkterna D, E och F de punkter i vilka den inskrivna cirkeln tangerar sidorna (D ligger på BC, E på CA, F på AB).  Visa att str�ckorna AD, BE och CF sk�r varandra i en punkt G. G kallas Gergonne punkt. Variant: Rita i varje hörnpunkt tangenten till den omskrivna cirkeln; då fås en triangel A’B’C’ (”tangenttriangeln”) så att A ligger på B’C ’, B ligger på C’A’ och C ligger på A’B’ . Visa att linjerna genom AA’ , BB’ , CC’ skär varandra i en punkt.

Uppgift a) När en kvadrat vrids  kring sitt centrum delas varje sida i kvadraten i tre delar i en bestämd proportion. Visa att förhållandet mellan delarnas längder är . b) Fortsätt med en godtycklig fyrhörning I en godtycklig fyrhörning delas varje sida i förhållandet . Vidare dras fyra räta linjer så att varje linje går genom två delningspunkter…
Läs mer

Uppgift Bestäm gemensamma tangenter till kurvorna  och , dvs bestäm de räta linjer som tangerar båda parablerna.

Uppgift I en cirkel med radie 2a ritas två cirklar med medelpunkten på en diameter av cirkeln och radien a och två cirklar så att de berör dessa två cirklar på utsidan och den stora cirkeln på insidan (se figur). a) Beräkna medelpunkterna av de sist nämnda cirklarna.b) En hur stor del av den stora cirkelskivan övertäcks av…
Läs mer

Uppgift Fermat formulerade 1643/44 följande minimumproblem:Bestäm den punkt P i triangeln ABC för vilken summan av avstånden från P till triangelns tre hörnpunkt (dvs.|PA|+|PB|+|PC|) är minimal. Denna punkt P kallas därför ’Fermat’-punkt.Toricelli hittade flera lösningar (bl.a. en med en ellips), sedan bidrog flera matematiker med lösningar: Viviani, Cavalieri, Steiner mm., P kallas även Fermat-Toricelli-Steiner-punkt. (Pierre de Fermat, 1601-1665; Evangelista Toricelli, 1608-1647; Jakob Steiner, 1796-1863).I denna uppgift skall du ge en lösning av Fermats minimumproblem som ger…
Läs mer

Uppgift I en kvadrat med sidolängd a ritas fem olika cirklar med samma radie så att en cirkel har medelpunkten i kvadratens mittpunkt och varje av dem övriga cirklarna berör denna cirkel och två kvadratsidor (se figur). a) Beräkna radierna för dessa cirklar.b) Konstruera dessa cirklar med enbart linjal och passare.c) Som variation kan uppgiften formuleras så: I…
Läs mer

Uppgift Fyra cirklar med samma radie vars medelpunkter bildar en kvadrat, tangerar varandra enligt figur. Bestäm radien för den cirkel som alla dessa cirklar tangerar på utsidan och för den cirkel som alla dessa cirklar tangerar på insidan.  Denna uppgift kan du variera så här:Utanför en cirkel med radie R skall fyra lika stora cirklar med radie r så…
Läs mer