FERMAT PUNKTEN

FERMAT PUNKTEN

Uppgift

Fermat formulerade 1643/44 följande minimumproblem:
Bestäm den punkt P i triangeln ABC för vilken summan av avstånden från P till triangelns tre hörnpunkt (dvs.|PA|+|PB|+|PC|) är minimal. Denna punkt P kallas därför ‘Fermat‘-punkt.
Toricelli hittade flera lösningar (bl.a. en med en ellips), sedan bidrog flera matematiker med lösningar: VivianiCavalieriSteiner mm., P kallas även Fermat-Toricelli-Steiner-punkt. (Pierre de Fermat, 1601-1665; Evangelista Toricelli, 1608-1647; Jakob Steiner, 1796-1863).
I denna uppgift skall du ge en lösning av Fermats minimumproblem som ger enkla konstruktioner av Fermatpunkten och upptäcka flera förbluffande egenskaper i samband med den:

Låt ABC vara en godtycklig triangel där alla vinklar är mindre än 120o. Rita över varje triangelsida en liksidig triangel på utsidan av ABC med nya hörnpunkterna A’ B’ C’ 

a) Visa att linjerna genom AA’ BB’ och CC’ skär varandra i en punkt P.
b) Visa att sträckorna AA’ BB’ och CC’ är lika långa.
c) Visa att vinklarna mellan AP och PB, mellan BP och PC och mellan CP och PA är 120o.
d) Visa att P löser Fermat:s minimumproblem.
e) Visa att de till de liksidiga trianglarna AB’CABC’ och A’BC omskrivna cirklarna skär varandra i P

ANMÄRKNING
Den ovan konstruerade punkten kallas även “första Fermatpunkten”; den “andra Fermatpunkten” för man om man genomför samma konstruktion som ovan men med liksidiga trianglar “inåt” triangeln:
|AA’ | = |BB’ | = |CC’ |, P är skärningspunkten mellan linjerna genom CC’ AA’ och BB’ = skärningspunkten mellan de omskrivna cirklarna.

 

Lämna ett svar

Din e-postadress kommer inte publiceras. Obligatoriska fält är märkta *