Handledning – Alternativa Sätt Att Ange Vinklar
[latexpage]
Förkunskaper: Ma4, grundläggande trigonometri
Syfte: Bearbeta frågan om varför radianer finns som mått på vinklar och vad dess fördelar är.
Lösningsförslag inklusive elevtips:
Eftersom ett helt varv motsvarar 360° eller $2\pi$ radianer får vi att $$\displaystyle 225^o=\frac 54\pi \text{ radianer } =\frac 52^{\perp} \text{ eftersom } 225\frac{\pi}{180}=\frac 54\pi \text{ och } 225\frac{1}{90}=\frac 52.$$ I alla tre fallen gäller att vi skall multiplicera omkretsen $2\pi r$ med hur stor del $\alpha$ är av ett helt varv. Vi får
Grader: $2\pi r\frac{\alpha}{360}=r\alpha \frac{\pi}{180}$
Radianer: $2\pi r\frac{\alpha}{\pi}=r\alpha $
Räta: $2\pi r\frac{\alpha}{4}=r\alpha \frac{\pi}{2}$
Man har egentligen tre olika funktioner från $\mathbb{R}\rightarrow [-1,1]$, som vi för tydlighets skulle betecknar $\sin^o, \sin^{\perp} och \sin$ beroende på om de beräknar sinusvärder för vinklar angivna i grader, räta respektive radianer. Sambanden är $\sin^o(x^o)=\sin(x^o\frac{\pi}{180})$ och $\cos^{\perp}(x^{\perp})=\cos(x^{\perp}\frac{\pi}{2})$. Ser att $\sin^{\perp}(\pi^{\perp})=\sin(\pi\frac{\pi}{2})=\sin(\frac{\pi^2}{2})\approx -0,9754$.
Vi vet att $ \lim_{h\rightarrow 0} \frac{\sin h}{h}=1 $. Av detta följer att $$ \begin{array}{l} \lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sin^o h}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sin(h\frac{\pi}{180})}{h}= \ =(\text{Sätt } k=h\frac{\pi}{180}, h \longrightarrow 0 \Rightarrow k \longrightarrow 0)= \lim_{k\rightarrow 0}\frac{\sin k}{k}\frac{\pi}{180}=\frac{\pi}{180}\end{array}.$$
På samma sätt finner vi att $$\displaystyle \begin{array}{l} \lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sin^{\perp} h}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sin(h\frac{\pi}{2})}{h}= \ =(\text{Sätt } k=h\frac{\pi}{2}, h \longrightarrow 0 \Rightarrow k \longrightarrow 0) = \lim_{k\rightarrow 0}\frac{\sin k}{k}\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2} \end{array}.$$
För att beräkna derivatorna för funktionerna $\sin^o \text{ och } \sin^{\perp}$ kan man använda kedjeregeln eller titta på differenskvoten. Väljer att visa båda dessa metoder på vars en av de två uppgifterna.
Med kedjeregeln: $$\displaystyle \frac{d}{dx}\sin^{\perp}(x) = \frac{d}{dx}\sin(x\frac{\pi}{2}) = \cos(x\frac{\pi}{2})\frac{\pi}{2} = \cos^{\perp}(x)\frac{\pi}{2}.$$
Med differenskvot: $$\displaystyle \frac{\sin^o(x+h)-\sin^o x}{h}=\cos^o(x+\frac h2)\frac{\sin^o\frac h2}{\frac h2}\longrightarrow \cos^o(x)\frac{\pi}{180}.$$
En möjlig uppfattning är att varken grader eller radianer är speciellt uppenbart för nybörjaren, medan begreppet rät vinkel är absolut och relativt enkelt att definiera och visualisera. Dock observerar vi att enligt ovan är radianer det mått som ger kortast formler för både cirkelbåge och för derivering, dvs som inte innejåller några faktorer.
