Handledning – Aritmetiskt Och Geometriskt Medelvärde

Emilia Ekstrand Handledning Ma2 9 februari, 2023 | 0

Förkunskaper: Ma2, aritmetiskt medelvärde, geometriskt medelvärde (överkurs), andragradsekvationer
Syfte: Att öva algebra

Lösningsförslag inkl elevtips:
$\frac{a + b}{2}/ \sqrt{ab} = m$
$\frac{a + b}{\sqrt{a b}}= 2 m$
$\sqrt{\frac{a}{b}} + \sqrt{\frac{b}{a}}- 2 m = 0$
$(\sqrt{\frac{a}{b}})^{2} - 2 m \sqrt{\frac{a}{b}}+ 1 = 0$
$\sqrt{\frac{a}{b}}= m + \sqrt{m^{2}-1}$ eller $\sqrt{\frac{a}{b}}= m - \sqrt{m^{2}-1}$

Vi ska visa att en av lösningarna, nämligen $\sqrt{\frac{a}{b}}= m - \sqrt{m^{2}-1}$ inte satisfierar det givna villkoret $a > b$ .
Om $a > b$ då $\sqrt{\frac{a}{b}}> 1$
I så fall $m - \sqrt{m^{2}- 1}> 1$ eller $m - 1 - \sqrt{m^{2} - 1} > 0$
$\sqrt{ (m - 1)^{2} } - \sqrt{ (m - 1)(m + 1) } > 0$
Faktoriseringen ger $\sqrt{m - 1}(\sqrt{m - 1}- \sqrt{m + 1}) > 0$
Men $\sqrt{m - 1}> 0$ och $\sqrt{m - 1} - \sqrt{m + 1} < 0$ , motsägelse.
Då $\sqrt{\frac{a}{b}}= m + \sqrt{m^{2}-1}$ , $\frac{a}{b}= (m + \sqrt{m^{2}- 1})^{2}$
$\frac{a}{b}= (m + \sqrt{m^{2}-1})(m + \sqrt{m^{2}-1})\cdot\frac{m - \sqrt{m^{2}- 1}}{m - \sqrt{m^{2}- 1}} = \frac{m +\sqrt{m^{2}-1}}{m - \sqrt{m^{2}- 1}}$ VSB

Tips till elever:
Till två positiva tal $a$ & $b$ definieras det geometriska medelvärdet som $c = \sqrt{a\cdot b$
Ställ upp en formel för förhållandet mellan det aritmetiska medelvärdet av två tal och talens geometriska medelvärde. Gör om den formeln till en andragradsekvation i avseende på $\sqrt{\frac{a}{b}}$ . Lös den erhållna ekvationen.
En av rötterna satisfierar inte villkoret $a > b$ . Vilken rot? Hur kan man motivera detta? Fortsätt med den andra rotten.
Din uppgift är att göra om den formeln till $\frac{m +\sqrt{m^{2}-1}}{m - \sqrt{m^{2}- 1}}$

Algebra Statistik

Handledning – Aritmetiskt Och Geometriskt Medelvärde

Handledning – Aritmetiskt Och Geometriskt Medelvärde

Kategori

Ämnesområde

Info

Material

Medverkande

MATTESHERPA