Handledning – Aritmetiskt Och Geometriskt Medelvärde

Handledning – Aritmetiskt Och Geometriskt Medelvärde


Förkunskaper: Ma2, aritmetiskt medelvärde, geometriskt medelvärde (överkurs), andragradsekvationer
Syfte: Att öva algebra

Lösningsförslag inkl elevtips:
\frac{a + b}{2}/ \sqrt{ab} = m
\frac{a + b}{\sqrt{a b}}= 2 m
\sqrt{\frac{a}{b}} + \sqrt{\frac{b}{a}}- 2 m = 0
(\sqrt{\frac{a}{b}})^{2} - 2 m \sqrt{\frac{a}{b}}+ 1 = 0
\sqrt{\frac{a}{b}}= m + \sqrt{m^{2}-1} eller \sqrt{\frac{a}{b}}= m - \sqrt{m^{2}-1}

Vi ska visa att en av lösningarna, nämligen \sqrt{\frac{a}{b}}= m - \sqrt{m^{2}-1} inte satisfierar det givna villkoret a > b.
Om a > b\sqrt{\frac{a}{b}}> 1
I så fall m - \sqrt{m^{2}- 1}> 1 eller m - 1 - \sqrt{m^{2} - 1} > 0
\sqrt{ (m - 1)^{2} } - \sqrt{ (m - 1)(m + 1) } > 0
Faktoriseringen ger \sqrt{m - 1}(\sqrt{m - 1}- \sqrt{m + 1}) > 0
Men \sqrt{m - 1}> 0 och \sqrt{m - 1} - \sqrt{m + 1} < 0, motsägelse.
\sqrt{\frac{a}{b}}= m + \sqrt{m^{2}-1}, \frac{a}{b}= (m + \sqrt{m^{2}- 1})^{2}
\frac{a}{b}= (m + \sqrt{m^{2}-1})(m + \sqrt{m^{2}-1})\cdot\frac{m - \sqrt{m^{2}- 1}}{m - \sqrt{m^{2}- 1}} = \frac{m +\sqrt{m^{2}-1}}{m - \sqrt{m^{2}- 1}} VSB

Tips till elever:
Till två positiva tal a & b definieras det geometriska medelvärdet som c = \sqrt{a\cdot b
Ställ upp en formel för förhållandet mellan det aritmetiska medelvärdet av två tal och talens geometriska medelvärde. Gör om den formeln till en andragradsekvation i avseende på \sqrt{\frac{a}{b}}. Lös den erhållna ekvationen.
En av rötterna satisfierar inte villkoret a > b. Vilken rot? Hur kan man motivera detta? Fortsätt med den andra rotten.
Din uppgift är att göra om den formeln till \frac{m +\sqrt{m^{2}-1}}{m - \sqrt{m^{2}- 1}}