Handledning – Brännpunkten

Handledning – Brännpunkten

Förkunskaper: MaC, om man använder nedanstående lösningsmetod.

Syfte: Öva generell hantering av normalens ekvation. Med förhållandevis enkla medel bevisa ett välkänt faktum, som dock mycket sällan (om någonsin) bevisas i en gymnasielärobok, nämligen att strålar som infaller parallellt med y-axeln reflekteras mot brännpunkten.

Lösningsförslag inkl. elevtips
Elevtips: Rita kurvan, dess normal och ljusstrålens väg. Teckna normalens ekvation och bestäm dess ”y”-intercept. Vilka vinklar är lika? Vilka sträckor är lika?
Lösningsförslag: Förfar enligt elevtipset. Normalens ekvation (på enpunktsform) är {y-f(a)=-\frac{x-a}{f'(a)}}. Eftersom {f(a)=ka^{2}} och {f'(a)=2ka}, kan normalens ekvation uttryckas {y-ka^{2}=-\frac{x-a}{2ka}}. Dess y-intercept är (sätt ”x”=0) {(0,ka^{2}+\frac{1}{2k})}. Vi kallar denna punkt ”R”. Låt strålen passera en punkt ”O” innan den träffar ”P”. (Det underlättar att rita en figur med parabeln, ljusstrålen och normalen, samt de benämnda punkterna innan man fortsätter.) Enligt reflexionslagen är vinkeln ”OPR” = vinkeln ”RPQ”. Eftersom ”OP” är parallell med y-axeln, är vinklarna ”OPR” och ”QRP” alternatvinklar och således lika. Detta innebär att triangeln ”RPQ” är likbent, med sidorna ”RQ” och ”PQ” lika. Teckna denna likhet med hjälp av Pythagoras sats (“avståndsformeln”): {ka^{2}+\frac{1}{2k}-b=\sqrt{a^{2}+(ka^{2}-b)^{2}}}. Vi kvadrerar och får då sambandet {((ka^{2}-b)+\frac{1}{2k})^{2}=a^{2}+(ka^{2}-b)^{2}} {\Leftrightarrow} {(ka^{2}-b)^{2}+2\frac{ka^{2}-b}{2k}+\frac{1}{4k^{2}}=a^{2}+(ka^{2}-b)^{2}} som efter förenkling ger {-\frac{b}{k}+\frac{1}{4k^{2}}=0 \Leftrightarrow b=\frac{1}{4k}}. Alltså är ”b” oberoende av ”a”, vilket skulle visas. Detta innebär att ”alla” strålar som infaller parallellt med y-axeln reflekteras till samma punkt, ”(0,b)”. Denna egenskap hos parabeln ligger till grund för bland annat parabolantennen.

Nästa steg: Hur blir det för en generell parabel, {y=kx^{2}+lx+m}? Kolla även på uppgiften Parabelns Ekvation. Därefter, när du har kännedom om begreppet styrlinje, kan du kanske besvara ovanstående fråga med ett geometriskt bevis?

Av Anders Karlsson