Handledning – Brännpunkten
Förkunskaper: Ma3, om man använder nedanstående lösningsmetod.
Syfte: Öva generell hantering av normalens ekvation. Med förhållandevis enkla medel bevisa ett välkänt faktum, som dock mycket sällan (om någonsin) bevisas i en gymnasielärobok, nämligen att strålar som infaller parallellt med y-axeln reflekteras mot brännpunkten.
Lösningsförslag inkl. elevtips
Elevtips: Rita kurvan, dess normal och ljusstrålens väg. Teckna normalens ekvation och bestäm dess y-intercept. Vilka vinklar är lika? Vilka sträckor är lika?
Lösningsförslag: Förfar enligt elevtipset. Normalens ekvation (på enpunktsform) är 
. Eftersom 
och 
, kan normalens ekvation uttryckas 
. Dess y-intercept är (sätt x=0) 
. Vi kallar denna punkt R. Låt strålen passera en punkt O innan den träffar P. (Det underlättar att rita en figur med parabeln, ljusstrålen och normalen, samt de benämnda punkterna innan man fortsätter.) Enligt reflexionslagen är vinkeln OPR = vinkeln RPQ. Eftersom OP är parallell med y-axeln, är vinklarna OPR och QRP alternatvinklar och således lika. Detta innebär att triangeln RPQ är likbent, med sidorna RQ och PQ lika. Teckna denna likhet med hjälp av Pythagoras sats (“avståndsformeln”): 
. Vi kvadrerar och får då sambandet
![\[((ka^{2}-b)+\frac{1}{2k})^{2}=a^{2}+(ka^{2}-b)^{2} \Leftrightarrow (ka^{2}-b)^{2}+2\frac{ka^{2}-b}{2k}+\frac{1}{4k^{2}}=a^{2}+(ka^{2}-b)^{2}\]](http://mattesherpa.se/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-db1b1f7fc206c458e2ff32a812906d7d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
som efter förenkling ger
![\[-\frac{b}{k}+\frac{1}{4k^{2}}=0 \Leftrightarrow b=\frac{1}{4k}.\]](http://mattesherpa.se/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ddf5ba2371059b8fc55237dee80bccf6_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Alltså är b oberoende av a, vilket skulle visas. Detta innebär att ”alla” strålar som infaller parallellt med y-axeln reflekteras till samma punkt, (0,b). Denna egenskap hos parabeln ligger till grund för bland annat parabolantennen.
Nästa steg: Hur blir det för en generell parabel, 
? Kolla även på uppgiften Parabelns Ekvation. Därefter, när du har kännedom om begreppet styrlinje, kan du kanske besvara ovanstående fråga med ett geometriskt bevis?
Av Anders Karlsson
