Handledning – Brännpunkten

[latexpage]

Förkunskaper: Ma3, om man använder nedanstående lösningsmetod.

Syfte: Öva generell hantering av normalens ekvation. Med förhållandevis enkla medel bevisa ett välkänt faktum, som dock mycket sällan (om någonsin) bevisas i en gymnasielärobok, nämligen att strålar som infaller parallellt med y-axeln reflekteras mot brännpunkten.

Lösningsförslag inkl. elevtips
Elevtips: Rita kurvan, dess normal och ljusstrålens väg. Teckna normalens ekvation och bestäm dess y-intercept. Vilka vinklar är lika? Vilka sträckor är lika?
Lösningsförslag: Förfar enligt elevtipset. Normalens ekvation (på enpunktsform) är $ y-f(a)=-\frac{x-a}{f'(a)} $. Eftersom $ f(a)=ka^{2} $ och $ f'(a)=2ka $, kan normalens ekvation uttryckas $ y-ka^{2}=-\frac{x-a}{2ka} $. Dess y-intercept är (sätt x=0) $ (0,ka^{2}+\frac{1}{2k}) $. Vi kallar denna punkt R. Låt strålen passera en punkt O innan den träffar P. (Det underlättar att rita en figur med parabeln, ljusstrålen och normalen, samt de benämnda punkterna innan man fortsätter.) Enligt reflexionslagen är vinkeln OPR = vinkeln RPQ. Eftersom OP är parallell med y-axeln, är vinklarna OPR och QRP alternatvinklar och således lika. Detta innebär att triangeln RPQ är likbent, med sidorna RQ och PQ lika. Teckna denna likhet med hjälp av Pythagoras sats (”avståndsformeln”): $ ka^{2}+\frac{1}{2k}-b=\sqrt{a^{2}+(ka^{2}-b)^{2}} $. Vi kvadrerar och får då sambandet

$$ ((ka^{2}-b)+\frac{1}{2k})^{2}=a^{2}+(ka^{2}-b)^{2} \Leftrightarrow (ka^{2}-b)^{2}+2\frac{ka^{2}-b}{2k}+\frac{1}{4k^{2}}=a^{2}+(ka^{2}-b)^{2}$$

som efter förenkling ger

$$ -\frac{b}{k}+\frac{1}{4k^{2}}=0 \Leftrightarrow b=\frac{1}{4k}.$$

Alltså är b oberoende av a, vilket skulle visas. Detta innebär att ”alla” strålar som infaller parallellt med y-axeln reflekteras till samma punkt, (0,b). Denna egenskap hos parabeln ligger till grund för bland annat parabolantennen.

Nästa steg: Hur blir det för en generell parabel, $ y=kx^{2}+lx+m $? Kolla även på uppgiften Parabelns Ekvation. Därefter, när du har kännedom om begreppet styrlinje, kan du kanske besvara ovanstående fråga med ett geometriskt bevis?

Av Anders Karlsson