Handledning – Cevias Sats – EJ FÄRDIG

Handledning – Cevias Sats – EJ FÄRDIG

Förkunskaper: Denna uppgift kräver ingenting utöver vanlig geometri (arean av rektangel); vi använder dock satsen om “cevianer” som borde alltså göras först. Ett annat bevis fås med satsen av ”Menelaos”. MaA. MaB.

Syfte: Denna uppgift skall träna upp färdigheten att kunna se geometriska samband och därmed bevisa intressanta satser (som i “tillämpningar”).

Lösningsförslag inkl. elevtips
(a) Vi visar: Om sträckorna ”AD”, ”CD”, ”BE” skär varandra i en punkt ”P” så gäller {\frac{\left\vert AF\right\vert }{\left\vert FB\right\vert } \cdot\frac{\left\vert BD\right\vert }{\left\vert DC\right\vert }\cdot \frac{\left\vert CE\right\vert }{\left\vert EA\right\vert }=1:}. Satsen om cevianer ger (se figur): Attach:ceva2.jpg”Cevas sats 1″ {\,\,\, (1) \,\, \frac{\left\vert BD\right\vert }{\left\vert DC\right\vert }= \frac{area(APB) }{area(APC) }} Attach:ceva3.jpg”Cevas sats 2″ {\,\,\, (2) \,\, \frac{\left\vert AF\right\vert }{\left\vert FB\right\vert }=\frac{area(APC) }{area(BPC) }} Attach:ceva4.jpg”Cevas sats 3″ {\,\,\, (3) \,\, \frac{\left\vert CE\right\vert }{\left\vert EA\right\vert }= \frac{area(CPB) }{area(APB) }}. Multiplikation ger: {(2)\cdot\ (1)\cdot\ (3)=\frac{\left\vert AF\right\vert }{\left\vert FB\right\vert } \cdot \frac{\left\vert BD\right\vert }{\left\vert DC \right\vert } \cdot \frac{\left\vert CE\right\vert }{\left\vert EA\right\vert }=} {=\frac{area(APC) }{area(BPC) }\cdot\frac{area(APB) }{area(APC) }\cdot\frac{area(CPB) }{area(APB) }=1.}
(b) Vi visar: Om {frac{\left\vert AF\right\vert }{\left\vert FB\right\vert } \cdot\frac{\left\vert BD\right\vert }{\left\vert DC\right\vert }\cdot \frac{\left\vert CE\right\vert }{\left\vert EA\right\vert }=1} så skär sträckorna ”AD”, ”CD”, ”BE” varandra i en punkt: Låt ”P” vara skärninspunkten mellan ”AC” och ”CF”. (1) och (2) ovan gäller och ger {\frac{\left\vert AF\right\vert }{\left\vert FB\right\vert } \cdot\frac{\left\vert BD\right\vert }{\left\vert DC\right\vert }=\frac{area(APC) }{area(BPC) }\cdot\frac{area(APB) }{area(APC) }=\frac{area(APB) }{area(BPC) }.}. Anta nu att ”BE” skär ”CF” i punkten ”P’ ”, då gäller {\frac{\left\vert CE\right\vert }{\left\vert EA\right\vert }= \frac{area(CP'B) }{area(AP'B) }} och {\frac{\left\vert AF\right\vert }{\left\vert FB\right\vert } \cdot\frac{\left\vert BD\right\vert }{\left\vert DC\right\vert }\cdot \frac{\left\vert CE\right\vert }{\left\vert EA\right\vert }=\frac{area(APB) }{area(BPC) }\cdot\frac{area(CP'B) }{area(AP'B) }=1} ger då ”P’ ”=”P” (annars vore area(”APB”) %3c area(”AP’B”) och area(”BPC”) > area(”CP’B”) eller omvänt!). Attach:ceva5.jpg”Cevas sats 4″

TILLÄMPNING
a) Höjderna i en triangel skär varandra i en punkt: Då ”AD”, ”BE”, ”CF” är höjderna och {\alpha, \beta, \gamma} vinklarna vid hörpunkterna ”A”, ”B”, ”C”, så gäller {\frac{\left\vert AF\right\vert }{\left\vert FB\right\vert }\cdot \frac{\left\vert BD\right\vert }{\left\vert DC\right\vert }\cdot \frac{\left\vert CE\right\vert }{\left\vert EA\right\vert }=\frac{\left\vert AC\right\vert \cos \alpha }{\left\vert BC\right\vert \cos \beta }\cdot \frac{\left\vert AB\right\vert \cos \beta }{\left\vert AC\right\vert \cos \gamma }\cdot\frac{\left\vert BC\right\vert \cos \gamma }{\left\vert AB\right\vert \cos \alpha }=1}, ”Ceva”s sats ger påståendet.
b) Bisektriserna i en triangel skär varandra i en punkt:”’%0a%0aDå ”AD”, ”BE”, ”CF” är bisektriserna så gäller (bisektrisen till en vinkel i en triangel delar motstånde sidan i de övriga sidornas förhållande):%0a{\frac{\left\vert AF\right\vert }{\left\vert FB\right\vert } \cdot\frac{\left\vert BD\right\vert }{\left\vert DC\right\vert }\cdot \frac{\left\vert CE\right\vert }{\left\vert EA\right\vert }=\frac{\left\vert AC\right\vert }{\left\vert AB\right\vert } \cdot\frac{\left\vert AB\right\vert }{\left\vert AC\right\vert }\cdot \frac{\left\vert BC\right\vert }{\left\vert AB\right\vert }=1}, ”Ceva”s sats ger påståendet.%0a%0a”’c) Medianerna i en triangel skär varandra i en punkt:”’%0a{\frac{\left\vert AF\right\vert }{\left\vert FB\right\vert } \cdot\frac{\left\vert BD\right\vert }{\left\vert DC\right\vert }\cdot \frac{\left\vert CE\right\vert }{\left\vert EA\right\vert }=\frac{½\left\vert AB\right\vert }{½\left\vert AB\right\vert } \cdot\frac{½\left\vert BC\right\vert }{½\left\vert BC\right\vert }\cdot \frac{½\left\vert AC\right\vert }{½\left\vert AC\right\vert }=1}, ”Ceva”s sats ger påståendet.

Nästa steg:

Av Samuel Bengmark