Handledning – Cevias Sats

[latexpage]

Förkunskaper: Denna uppgift kräver ingenting utöver vanlig geometri (arean av rektangel); vi använder dock satsen om ”cevianer” som borde alltså göras först. Ett annat bevis fås med satsen av ”Menelaos”. Ma1. Ma2.

Syfte: Denna uppgift skall träna upp färdigheten att kunna se geometriska samband och därmed bevisa intressanta satser (som i ”tillämpningar”).

Lösningsförslag inkl. elevtips
(a) Vi visar: Om sträckorna ”AD”, ”CF”, ”BE” skär varandra i en punkt ”P” så gäller $ \frac{\left\vert AF\right\vert }{\left\vert FB\right\vert } \cdot\frac{\left\vert BD\right\vert }{\left\vert DC\right\vert }\cdot \frac{\left\vert CE\right\vert }{\left\vert EA\right\vert }=1$. Satsen om cevianer ger (se figur):

$ \,\,\, (1) \,\, \frac{\left\vert BD\right\vert }{\left\vert DC\right\vert }= \frac{area(APB) }{area(APC) } $

$ \,\,\, (2) \,\, \frac{\left\vert AF\right\vert }{\left\vert FB\right\vert }=\frac{area(APC) }{area(BPC) } $

$ \,\,\, (3) \,\, \frac{\left\vert CE\right\vert }{\left\vert EA\right\vert }= \frac{area(CPB) }{area(APB) } $.

Multiplikation ger: $ (2)\cdot\ (1)\cdot\ (3)=\frac{\left\vert AF\right\vert }{\left\vert FB\right\vert } \cdot \frac{\left\vert BD\right\vert }{\left\vert DC \right\vert } \cdot \frac{\left\vert CE\right\vert }{\left\vert EA\right\vert }= \frac{area(APC) }{area(BPC) }\cdot\frac{area(APB) }{area(APC) }\cdot\frac{area(CPB) }{area(APB) }=1. $

(b) Vi visar: Om $ \frac{\left\vert AF\right\vert }{\left\vert FB\right\vert } \cdot\frac{\left\vert BD\right\vert }{\left\vert DC\right\vert }\cdot \frac{\left\vert CE\right\vert }{\left\vert EA\right\vert }=1 $ så skär sträckorna ”AD”, ”CF”, ”BE” varandra i en punkt:

Låt ”P” vara skärninspunkten mellan ”AC” och ”CF”. (1) och (2) ovan gäller och ger
$ \frac{\left\vert AF\right\vert }{\left\vert FB\right\vert } \cdot\frac{\left\vert BD\right\vert }{\left\vert DC\right\vert }=\frac{area(APC) }{area(BPC) }\cdot\frac{area(APB) }{area(APC) }=\frac{area(APB) }{area(BPC) }$.
Anta nu att ”BE” skär ”CF” i punkten ”P’ ”, då gäller $ \frac{\left\vert CE\right\vert }{\left\vert EA\right\vert }= \frac{area(CP’B) }{area(AP’B) } $ och $ \frac{\left\vert AF\right\vert }{\left\vert FB\right\vert } \cdot\frac{\left\vert BD\right\vert }{\left\vert DC\right\vert }\cdot \frac{\left\vert CE\right\vert }{\left\vert EA\right\vert }=\frac{area(APB) }{area(BPC) }\cdot\frac{area(CP’B) }{area(AP’B) }=1 $ ger då ”P’ ”=”P” (annars vore area(”APB”) < area(”AP’B”) och area(”BPC”) > area(”CP’B”) eller omvänt!).

TILLÄMPNING
a) Höjderna i en triangel skär varandra i en punkt: Då ”AD”, ”BE”, ”CF” är höjderna och $ \alpha, \beta, \gamma $ vinklarna vid hörpunkterna ”A”, ”B”, ”C”, så gäller $ \frac{\left\vert AF\right\vert }{\left\vert FB\right\vert }\cdot \frac{\left\vert BD\right\vert }{\left\vert DC\right\vert }\cdot \frac{\left\vert CE\right\vert }{\left\vert EA\right\vert }=\frac{\left\vert AC\right\vert \cos \alpha }{\left\vert BC\right\vert \cos \beta }\cdot \frac{\left\vert AB\right\vert \cos \beta }{\left\vert AC\right\vert \cos \gamma }\cdot\frac{\left\vert BC\right\vert \cos \gamma }{\left\vert AB\right\vert \cos \alpha }=1 $, ”Ceva”s sats ger påståendet.
b) Bisektriserna i en triangel skär varandra i en punkt: Då ”AD”, ”BE”, ”CF” är bisektriserna så gäller (bisektrisen till en vinkel i en triangel delar motstånde sidan i de övriga sidornas förhållande):
$ \frac{\left\vert AF\right\vert }{\left\vert FB\right\vert } \cdot\frac{\left\vert BD\right\vert }{\left\vert DC\right\vert }\cdot \frac{\left\vert CE\right\vert }{\left\vert EA\right\vert }=\frac{\left\vert AC\right\vert }{\left\vert AB\right\vert } \cdot\frac{\left\vert AB\right\vert }{\left\vert AC\right\vert }\cdot \frac{\left\vert BC\right\vert }{\left\vert AB\right\vert }=1 $, ”Ceva”s sats ger påståendet.
c) Medianerna i en triangel skär varandra i en punkt:
$ \frac{\left\vert AF\right\vert }{\left\vert FB\right\vert } \cdot\frac{\left\vert BD\right\vert }{\left\vert DC\right\vert }\cdot \frac{\left\vert CE\right\vert }{\left\vert EA\right\vert }=\frac{½\left\vert AB\right\vert }{½\left\vert AB\right\vert } \cdot\frac{½\left\vert BC\right\vert }{½\left\vert BC\right\vert }\cdot \frac{½\left\vert AC\right\vert }{½\left\vert AC\right\vert }=1 $, ”Ceva”s sats ger påståendet.

Av Samuel Bengmark