Handledning – Cevias Sats
Förkunskaper: Denna uppgift kräver ingenting utöver vanlig geometri (arean av rektangel); vi använder dock satsen om “cevianer” som borde alltså göras först. Ett annat bevis fås med satsen av ”Menelaos”. Ma1. Ma2.
Syfte: Denna uppgift skall träna upp färdigheten att kunna se geometriska samband och därmed bevisa intressanta satser (som i “tillämpningar”).
Lösningsförslag inkl. elevtips
(a) Vi visar: Om sträckorna ”AD”, ”CF”, ”BE” skär varandra i en punkt ”P” så gäller . Satsen om cevianer ger (se figur):



.
Multiplikation ger:
(b) Vi visar: Om så skär sträckorna ”AD”, ”CF”, ”BE” varandra i en punkt:
Låt ”P” vara skärninspunkten mellan ”AC” och ”CF”. (1) och (2) ovan gäller och ger .
Anta nu att ”BE” skär ”CF” i punkten ”P’ ”, då gäller och
ger då ”P’ ”=”P” (annars vore area(”APB”) < area(”AP’B”) och area(”BPC”) > area(”CP’B”) eller omvänt!).

TILLÄMPNING
a) Höjderna i en triangel skär varandra i en punkt: Då ”AD”, ”BE”, ”CF” är höjderna och vinklarna vid hörpunkterna ”A”, ”B”, ”C”, så gäller
, ”Ceva”s sats ger påståendet.
b) Bisektriserna i en triangel skär varandra i en punkt: Då ”AD”, ”BE”, ”CF” är bisektriserna så gäller (bisektrisen till en vinkel i en triangel delar motstånde sidan i de övriga sidornas förhållande):, ”Ceva”s sats ger påståendet.
c) Medianerna i en triangel skär varandra i en punkt:, ”Ceva”s sats ger påståendet.
Av Samuel Bengmark