Handledning – Cevias Sats – EJ FÄRDIG
Förkunskaper: Denna uppgift kräver ingenting utöver vanlig geometri (arean av rektangel); vi använder dock satsen om “cevianer” som borde alltså göras först. Ett annat bevis fås med satsen av ”Menelaos”. MaA. MaB.
Syfte: Denna uppgift skall träna upp färdigheten att kunna se geometriska samband och därmed bevisa intressanta satser (som i “tillämpningar”).
Lösningsförslag inkl. elevtips
(a) Vi visar: Om sträckorna ”AD”, ”CD”, ”BE” skär varandra i en punkt ”P” så gäller {}. Satsen om cevianer ger (se figur): Attach:ceva2.jpg”Cevas sats 1″ {
} Attach:ceva3.jpg”Cevas sats 2″ {
} Attach:ceva4.jpg”Cevas sats 3″ {
}. Multiplikation ger: {
} {
}
(b) Vi visar: Om {} så skär sträckorna ”AD”, ”CD”, ”BE” varandra i en punkt: Låt ”P” vara skärninspunkten mellan ”AC” och ”CF”. (1) och (2) ovan gäller och ger {
}. Anta nu att ”BE” skär ”CF” i punkten ”P’ ”, då gäller {
} och {
} ger då ”P’ ”=”P” (annars vore area(”APB”) %3c area(”AP’B”) och area(”BPC”) > area(”CP’B”) eller omvänt!). Attach:ceva5.jpg”Cevas sats 4″
TILLÄMPNING
a) Höjderna i en triangel skär varandra i en punkt: Då ”AD”, ”BE”, ”CF” är höjderna och {} vinklarna vid hörpunkterna ”A”, ”B”, ”C”, så gäller {
}, ”Ceva”s sats ger påståendet.
b) Bisektriserna i en triangel skär varandra i en punkt:”’%0a%0aDå ”AD”, ”BE”, ”CF” är bisektriserna så gäller (bisektrisen till en vinkel i en triangel delar motstånde sidan i de övriga sidornas förhållande):%0a{}, ”Ceva”s sats ger påståendet.%0a%0a”’c) Medianerna i en triangel skär varandra i en punkt:”’%0a{
}, ”Ceva”s sats ger påståendet.
Nästa steg:
Av Samuel Bengmark