Handledning – Delbart med 3

Handledning – Delbart med 3

Förkunskaper: MaA, Enkel algebra och förståelse för delbarhet krävs. Med kunskaper i kongruensräkning kan man förenkla framställningen.

Syfte: Lära sig bevisföring.

Lösningsförslag inkl. elevtips
Låt talet {N} vara den {n+1}-siffriga talet {N=a_{n}a_{n-1}\cdots a_1a_0}. I det decimala positionsystemet betyder detta att {

    \[N=a_{n}10^{n}+a_{n-1}10^{n-1}+\cdots +a_1 10+a_0\]

}.


(a) Eftersom {

    \[\left{\begin{array}{c} 10=3\cdot 3+1\ 100=3\cdot 33+1\ 1000=3\cdot 333+1\ \vdots \end{array} \right.\]

} osv. ser man att varje 10 potens kan skrivas på formen {10^k=3 m_k+1} för något {m_k}. Detta betyder att {

    \[\begin{array}{rl} N=&a_{n}10^{n}+a_{n-1}10^{n-1}+\cdots +a_1 10+a_0=\ = & a_{n}(3m_{n}+1)+a_{n-1} (3m_{n-1}+1)+\cdots +a_1(3m_1+1)+a_0 \end{array}\]

}. Samlar vi ihop alla termer som innehåller en 3:a får vi att {

    \[N=3\cdot (a_{n} m_{n}+a_{n-1} m_{n-1}+.. +a_1 m_1)+a_{n}+a_{n-1}+.. +a_1 + a_0\]

}. Slutsatsen blir att om siffersumman, {a_{n}+a_{n-1}+\cdots +a_1 + a_0}, är delbart med 3 kommer hela högerledet, och därmed {N} vara delbart med 3. Omvänt om {N} är delbart med 3 ser vi, genom att flytta över {3\cdot (a_{n}m_{n}+a_{n-1}m_{n-1}+\cdots +a_1m_1)} till vänsterledet, att eftersom då hela vänsterledet är delbart med 3 måste även högerledet, dvs siffersumman {a_{n}+a_{n-1}+\cdots +a_1 + a_0}, vara det delbart med 3.


(b) Argumentet är det samma fast man utgår i från det faktum att {10=9+1}, {100= 9\cdot 11+1} {1000=9\cdot111+1} osv.

Nästa steg: Prova att finna och visa något liknande samband vid division med 11.