Handledning – Derivata Av Produkt

Handledning – Derivata Av Produkt

Förkunskaper: Ma4, derivatan av en produkt. Eventuellt binomialutvecklingen och/eller induktion, beroende på vilken grad av lösning man vill lägga sig på.

Syfte: Upptäcka mönster. Utveckla regler. Se skönheten i att fröken Diskret Matematik gör ett oväntat besök hos herr Analys.

Lösningsförslag inkl. elevtips
Elevtips: Jämför utseendet av andraderivatan med (a+b)^{2}. De flesta gymnasieelever torde inte lösa den sista punkten direkt (det generella problemet), utan helt enkelt derivera förstaderivatan. Man får då \displaystyle (fg)´´=(f´g+fg´)´=(f´g)´+(fg´)´=f´´g+f´g´+f´g´+fg´´ = f´´g+2f´g´+fg´´. Åter är varje term en produkt, så vi fortsätter enligt samma mönster och får

    \[(fg)^{ (3) }=( f´´g+2f´g´+fg´´)´=f^{ (3) }g+3f´´g´+3f´g´´+fg^{ (3) } .\]

Nu börjar man på allvar se mönstret: uttrycken är av exakt samma typ som binomialutvecklingen, fast med derivator i stället för exponenter. Det generella uttrycket blir förstås \displaystyle \sum_{k=0}^{n}{\begin{pmatrix} n\ k \end{pmatrix}f^{ (n-k) }g^{ (k) }} (Att formellt bevisa detta med induktion är kanske i överkant för en gymnasieelev.)