Handledning – Derivata Av Produkt

Handledning – Derivata Av Produkt

[latexpage]

Förkunskaper: Ma4, derivatan av en produkt. Eventuellt binomialutvecklingen och/eller induktion, beroende på vilken grad av lösning man vill lägga sig på.

Syfte: Upptäcka mönster. Utveckla regler. Se skönheten i att fröken Diskret Matematik gör ett oväntat besök hos herr Analys.

Lösningsförslag inkl. elevtips
Elevtips: Jämför utseendet av andraderivatan med $ (a+b)^{2} $. De flesta gymnasieelever torde inte lösa den sista punkten direkt (det generella problemet), utan helt enkelt derivera förstaderivatan. Man får då

$$\displaystyle (fg)”=(f’g+fg’)’=(f’g)’+(fg’)’=f”g+f’g’+f’g’+fg” = f”g+2f’g’+fg” .$$

Åter är varje term en produkt, så vi fortsätter enligt samma mönster och får

$$ (fg)^{ (3) }=( f”g+2f’g’+fg”)’=f^{ (3) }g+3f”g’+3f’g”+fg^{ (3) } .$$

Överkurs (Ma5):
Nu börjar man på allvar se mönstret: uttrycken är av exakt samma typ som binomialutvecklingen, fast med derivator i stället för exponenter. Det generella uttrycket blir förstås $\displaystyle \sum_{k=0}^{n}{\begin{pmatrix} n\ k \end{pmatrix}f^{ (n-k) }g^{ (k) }} $ (Att formellt bevisa detta med induktion är kanske i överkant för en gymnasieelev.)