Handledning – Derivera Areaformel

Handledning – Derivera Areaformel

Förkunskaper: Ma3

Syfte:

Lösningsförslag inkl. elevtips
a) För cirkel A(r) = \pi r^2 \Rightarrow A'(r) = 2 \pi r = O(r). För klot V(r) = 4 \pi r^3/3 \Rightarrow V'(r) = 4 \pi r^2 = A(r). För kvadrat A(s) = s^2 \Rightarrow A'(s) = 2s \neq 4s = O(s).

b) Observera att A'(r) = \lim_{\Delta r \to 0} \frac{A(r + \Delta r) - A(r)}{\Delta r} och tolka kvoten i högerledet geometriskt (se figur nedan).

Differensen A(r + \Delta r) - A(r) är arean av cirkelremsan med tjocklek \Delta r. Notera att A(r + \Delta r) - A(r) \approx O(r) \Delta r om vi tänker oss att cirkelremsan (nästan) kan vecklas ut till en rektangel. I själva verket blir denna approximation “hur bra som helst” om bara \Delta r är tillräckligt litet, eller med andra ord \frac{A(r + \Delta r) - A(r)}{\Delta r} \approx O(r) och \lim_{\Delta r \to 0} \frac{A(r + \Delta r) - A(r)}{\Delta r} = O(r). Resonemanget är något informellt. Ett första steg till ett bättre resonemang kan vara att ”stänga in” kvoten mellan O(r) och O(r + \Delta r). Resultatet blir dock detsamma.

c), d) Samma angreppssätt som ovan fast med kvadrat ger, med s som kvadratens sida,
A(s + \Delta s) - A(s) \approx O(s) \cdot \Delta s /2. Obsevera att kvadratremsans tjocklek blir \Delta s /2 och inte \Delta s! Vi får nu \lim_{\Delta s \to 0}\frac{A(s + \Delta s) - A(s)}{\Delta s} = O(s)/2 eller med andra ord A'(s) = 4s/2 = 2s.

Nästa steg: Formalisera resonemanget om att approximationen blir godtyckligt bra. Utför motsvarande resonemang för klotformler och kubformler.

Av Roger Bengtsson