Handledning – Derivera Areaformel
Förkunskaper: MaC
Syfte:
Lösningsförslag inkl. elevtips
a) För cirkel {}. För klot {
}. För kvadrat {
}.
b) Observera att {} och tolka kvoten i högerledet geometriskt (se figur nedan).

Differensen {} är arean av cirkelremsan med tjocklek {
}. Notera att {
} om vi tänker oss att cirkelremsan (nästan) kan vecklas ut till en rektangel. I själva verket blir denna approximation “hur bra som helst” om bara {
} är tillräckligt litet, eller med andra ord {
} och {
}. Resonemanget är något informellt. Ett första steg till ett bättre resonemang kan vara att ”stänga in” kvoten mellan {
} och {
}. Resultatet blir dock detsamma.
c), d) Samma angreppssätt som ovan fast med kvadrat ger, med {} som kvadratens sida,%0a%0a{
}. Obsevera att kvadratremsans tjocklek blir {
} och inte {
}! Vi får nu {
} eller med andra ord {
}.
Nästa steg: Formalisera resonemanget om att approximationen blir godtyckligt bra. Utför motsvarande resonemang för klotformler och kubformler.
Av Roger Bengtsson