Handledning – Derivera Areaformel

Handledning – Derivera Areaformel

Förkunskaper: MaC

Syfte:

Lösningsförslag inkl. elevtips
a) För cirkel {A(r) = \pi r^2 \Rightarrow A'(r) = 2 \pi r = O(r)}. För klot {V(r) = 4 \pi r^3/3 \Rightarrow V'(r) = 4 \pi r^2 = A(r)}. För kvadrat {A(s) = s^2 \Rightarrow A'(s) = 2s \neq 4s = O(s)}.

b) Observera att {A'(r) = \lim_{\Delta r \to 0} \frac{A(r + \Delta r) - A(r)}{\Delta r}} och tolka kvoten i högerledet geometriskt (se figur nedan).

Differensen {A(r + \Delta r) - A(r)} är arean av cirkelremsan med tjocklek {\Delta r}. Notera att {A(r + \Delta r) - A(r) \approx O(r) \Delta r} om vi tänker oss att cirkelremsan (nästan) kan vecklas ut till en rektangel. I själva verket blir denna approximation “hur bra som helst” om bara {\Delta r} är tillräckligt litet, eller med andra ord {\frac{A(r + \Delta r) - A(r)}{\Delta r} \approx O(r)} och {\lim_{\Delta r \to 0} \frac{A(r + \Delta r) - A(r)}{\Delta r} = O(r)}. Resonemanget är något informellt. Ett första steg till ett bättre resonemang kan vara att ”stänga in” kvoten mellan {O(r)} och {O(r + \Delta r)}. Resultatet blir dock detsamma.

c), d) Samma angreppssätt som ovan fast med kvadrat ger, med {s} som kvadratens sida,%0a%0a{A(s + \Delta s) - A(s) \approx O(s) \cdot \Delta s /2}. Obsevera att kvadratremsans tjocklek blir {\Delta s /2} och inte {\Delta s}! Vi får nu {\lim_{\Delta s \to 0}\frac{A(s + \Delta s) - A(s)}{\Delta s} = O(s)/2} eller med andra ord {A'(s) = 4s/2 = 2s}.

Nästa steg: Formalisera resonemanget om att approximationen blir godtyckligt bra. Utför motsvarande resonemang för klotformler och kubformler.

Av Roger Bengtsson