Handledning – Derivera Areaformel
Förkunskaper: Ma3
Syfte:
Lösningsförslag inkl. elevtips
a) För cirkel . För klot
. För kvadrat
.
b) Observera att och tolka kvoten i högerledet geometriskt (se figur nedan).

Differensen är arean av cirkelremsan med tjocklek
. Notera att
om vi tänker oss att cirkelremsan (nästan) kan vecklas ut till en rektangel. I själva verket blir denna approximation “hur bra som helst” om bara
är tillräckligt litet, eller med andra ord
och
. Resonemanget är något informellt. Ett första steg till ett bättre resonemang kan vara att ”stänga in” kvoten mellan
och
. Resultatet blir dock detsamma.
c), d) Samma angreppssätt som ovan fast med kvadrat ger, med som kvadratens sida,
. Obsevera att kvadratremsans tjocklek blir
och inte
! Vi får nu
eller med andra ord
.
Nästa steg: Formalisera resonemanget om att approximationen blir godtyckligt bra. Utför motsvarande resonemang för klotformler och kubformler.
Av Roger Bengtsson