Handledning – Dubbeltangent

[latexpage]

Förkunskaper: Ma3 för första delen. Ma4 (kedjeregeln, andraderivata) för senare delen.

Syfte: Teoretisera kring derivatan av polynomfunktioner. Introducera (?) begreppet inflexionspunkt. Öva bevisföring.

Lösningsförslag inkl. elevtips
Elevtips: Börja med att dra tangenten! Rita därefter en kurva som uppfyller kravet. Hur måste den se ut? Vad gäller för polynomfunktioner vars graf har detta utseende? Antag att tangentens lutning är ”a”. Det är ett ”nödvändigt” villkor att ”f´(x)=a” har två olika lösningar, vilket ger att ”f´(x)” måste vara ett polynom av grad 2 eller högre, varav ”f(x)” måste ha grad 3 eller högre. Detta är emellertid inte ”tillräckligt” – försök att konstruera en sådan graf! ”f(x)” måste i själva verket ha (minst) två ”olika” inflexionspunkter, dvs ”f´´(x)=0” måste ha (minst) två olika lösningar vilket ger att ”f(x)” måste ha grad minst 4. Vi tittar på det fall då båda tangeringspunkterna ligger i områden där grafen är konvex. (Fallet att båda punkterna ligger i område där grafen är konkav är helt analogt. Fallet att vi har två tangeringspunkter i områden av olika konkavitet lämnas åt läsaren att betrakta, samt fallet då den ena (eller båda) punkterna är inflexionspunkter.)
Betrakta figuren:

Mellan tangeringspunkterna måste endera av följande inträffa:
1. Kurvan är konkav i någon punkt och en omgivning till denna punkt.
2. Kurvan är konvex i alla punkter utom möjligen en punkt.

Om 2. gäller ser det ut såhär:

Detta skulle innebära att funktionen inte är deriverbar i ”vecket”. Polynomfunktioner är deriverbara i alla punkter, alltså har vi motsägelse, vilket innebär att 1. gäller. I och med detta finns minst två olika inflexionspunkter mellan tangeringspunkterna, vilket skulle visas. Slutsatsen är alltså att ”f(x)” måste vara en polynomfunktion av grad minst 4 med minst två olika inflexionspunkter. Detta innebär att t.ex. $f(x)=x^{4}$ inte duger. Vad gäller trippeltangent så är ett exempel $ f(x)=(x-a)^{2}(x-b)^{2}(x-c)^{2}+d $, ”a, b, c” olika, som har den horisontella trippeltangenten ”y=d”. Speciellt om ”d”=0 så är ”x”-axeln tangent i tre olika punkter.