Handledning – En Algebraisk Olikhet – EJ FÄRDIG

Handledning – En Algebraisk Olikhet – EJ FÄRDIG

Förkunskaper: MaA: det aritmetiska medelvärdet, det geometriska medelvärdet (överkurs).

Syfte: Att förstärka förståelse för två olika slags medelvärden, att öva algebra.

Lösningsförslag inkl. elevtips
Vi använder sambandet mellan det aritmetiska och det geometriska medelvärdet tre gånger {$ \frac{1}{2}(\frac{bc}{a}+ \frac{ac}{b})\geq \sqrt{\frac{bc}{a}\cdot \frac{ac}{b}}= c $}. På samma sätt {$ \frac{1}{2}(\frac{ac}{b}+ \frac{ab}{c})\geq a $} och {$ \frac{1}{2}(\frac{ab}{c}+ \frac{bc}{a})\geq b $}. Sedan adderas olikheterna och påståendet är bevisat. Tips till elever. Till två positiva tal {$ a $} och {$ b $} definieras det geometriska medelvärdet som {$ \sqrt{a\cdot b} $}. Du kan börja denna uppgift med att du bevisar att det aritmetiska medelvärdet till två positiva tal är större än eller lika med det geometriska medelvärdet, d.v.s. {$ \frac{a + b}{2}\geq \sqrt{a\cdot b} $}. I uppgiften kan du tolka tre termer i vänstra ledet som helheter d.v.s. du kan tolka en term t ex {$ \frac{ab}{c} $} som en helhet och försöka tillämpa sambandet mellan det aritmetiska och det geometriska medelvärdet.