Handledning – En Diofantisk Ekvation

Handledning – En Diofantisk Ekvation

Förkunskaper: Matematik B

Syfte: Att lösa en s.k. diofantisk ekvation, använda begreppet delbarhet av hela tal.

Lösningsförslag inkl. elevtips
Man inser att {\left( {n_0 ,m_0 } \right)} = (2, 5) är en lösning.%0a> {\left( {2 + 3s,5 + 7s} \right)}%0a> är lösningar för alla heltal s. Detta inser man genom insättning i ekvationen. Om (n, m) är en lösning får vi att {7\left( {n - 2} \right) - 3\left( {m - 5} \right) = 7n - 3m + 1 = - 1 + 1 = 0}. Detta ger {7\left( {n - 2} \right) = 3\left( {m - 5} \right)} vilket innebär att {n - 2}%0a> är delbart med 3 och att {\left( {m - 5} \right)} är delbart med 7. Detta innebär att det finns heltal s och t sådana att {n - 2 = 3s}och {n - 5 = 7t}. Vi får nu att {7 \cdot 3s = 7\left( {n - 2} \right) = 3\left( {m - 5} \right) = 3 \cdot 7t}. Alltså är s = t och därför måste den fullständiga heltaliga lösningen till {7n - 3m = - 1} vara {( n,m ) = ( 2 + 3s,5 + 7s )}.

Tips till eleven:
a) Gissa en lösning till {7n - 3m = - 1}.
b) Sök alla heltaliga lösningar {\left( {n_h ,m_h } \right)} till ekvationen {7n - 3m = 0}
c) Visa att om (n, m) och {\left( {n_0 ,m_0 } \right)} är lösningar till {7n - 3m = - 1} så är {\left( {n - n_0 ,m - m_0 } \right)} lösning till {7n - 3m = 0}%0a> %0a>
d) Varje lösning (n, m) till {7n - 3m = - 1} kan nu uttryckas med {\left( {n_0 ,m_0 } \right)} och {\left( {n_h ,m_h } \right)}.

Nästa steg:
5. Generalisering. Låt a, b och c vara heltal. Undersök heltalslösningar x och y till ekvationen {ax + by + c = 0}. Sök ett nödvändigt villkor för att {ax + by + c = 0} skall ha någon heltalslösning. Antag att ekvationen {ax + by + c = 0} har någon heltalig lösning {\left( {x_0 ,y_0 } \right)}. Ange den fullständiga heltaliga lösningen. Sätt dig in i Euklides algoritm och ta reda på hur man hittar den allmänna heltaliga lösningen till ekvationen {ax + by + c = 0} när den är lösbar.