Handledning – En Diofantisk Ekvation

Handledning – En Diofantisk Ekvation

Förkunskaper: Ma2

Syfte: Att lösa en s.k. diofantisk ekvation, använda begreppet delbarhet av hela tal.

Lösningsförslag inkl. elevtips
Man inser att \left( {n_0 ,m_0 } \right) = (2, 5) är en lösning. \left( {2 + 3s,5 + 7s} \right) är lösningar för alla heltal s. Detta inser man genom insättning i ekvationen. Om (n, m) är en lösning får vi att 7\left( {n - 2} \right) - 3\left( {m - 5} \right) = 7n - 3m + 1 = - 1 + 1 = 0. Detta ger 7\left( {n - 2} \right) = 3\left( {m - 5} \right) vilket innebär att n - 2 är delbart med 3 och att \left( {m - 5} \right) är delbart med 7. Detta innebär att det finns heltal s och t sådana att n - 2 = 3s och n - 5 = 7t. Vi får nu att 7 \cdot 3s = 7\left( {n - 2} \right) = 3\left( {m - 5} \right) = 3 \cdot 7t. Alltså är s = t och därför måste den fullständiga heltaliga lösningen till 7n - 3m = - 1 vara ( n,m ) = ( 2 + 3s,5 + 7s ).

Tips till eleven:
a) Gissa en lösning till 7n - 3m = - 1.
b) Sök alla heltaliga lösningar \left( {n_h ,m_h } \right) till ekvationen 7n - 3m = 0
c) Visa att om (n, m) och \left( {n_0 ,m_0 } \right) är lösningar till 7n - 3m = - 1 så är \left( {n - n_0 ,m - m_0 } \right) lösning till 7n - 3m = 0
d) Varje lösning (n, m) till 7n - 3m = - 1 kan nu uttryckas med \left( {n_0 ,m_0 } \right) och \left( {n_h ,m_h } \right).

Nästa steg:
5. Generalisering. Låt a, b och c vara heltal. Undersök heltalslösningar x och y till ekvationen ax + by + c = 0. Sök ett nödvändigt villkor för att ax + by + c = 0 skall ha någon heltalslösning. Antag att ekvationen ax + by + c = 0 har någon heltalig lösning \left( {x_0 ,y_0 } \right). Ange den fullständiga heltaliga lösningen. Sätt dig in i Euklides algoritm och ta reda på hur man hittar den allmänna heltaliga lösningen till ekvationen ax + by + c = 0 när den är lösbar.