Handledning – En Diofantisk Ekvation
Förkunskaper: Matematik B
Syfte: Att lösa en s.k. diofantisk ekvation, använda begreppet delbarhet av hela tal.
Lösningsförslag inkl. elevtips
Man inser att {
} = (2, 5) är en lösning.%0a> {
}%0a> är lösningar för alla heltal s. Detta inser man genom insättning i ekvationen. Om (n, m) är en lösning får vi att {
}. Detta ger {
} vilket innebär att {
}%0a> är delbart med 3 och att {
} är delbart med 7. Detta innebär att det finns heltal s och t sådana att {
}och {
}. Vi får nu att {
}. Alltså är s = t och därför måste den fullständiga heltaliga lösningen till {
} vara {
}.
Tips till eleven:
a) Gissa en lösning till {}.
b) Sök alla heltaliga lösningar {
} till ekvationen {
}
c) Visa att om (n, m) och {} är lösningar till {} så är {
} lösning till {}%0a> %0a>
d) Varje lösning (n, m) till {} kan nu uttryckas med {} och {}.
Nästa steg:
5. Generalisering. Låt a, b och c vara heltal. Undersök heltalslösningar x och y till ekvationen {
}. Sök ett nödvändigt villkor för att {} skall ha någon heltalslösning. Antag att ekvationen {} har någon heltalig lösning {
}. Ange den fullständiga heltaliga lösningen. Sätt dig in i Euklides algoritm och ta reda på hur man hittar den allmänna heltaliga lösningen till ekvationen {} när den är lösbar.
