Handledning – En Diofantisk Ekvation
Förkunskaper: Ma2
Syfte: Att lösa en s.k. diofantisk ekvation, använda begreppet delbarhet av hela tal.
Lösningsförslag inkl. elevtips
Man inser att = (2, 5) är en lösning.
är lösningar för alla heltal s. Detta inser man genom insättning i ekvationen. Om (n, m) är en lösning får vi att
. Detta ger
vilket innebär att
är delbart med 3 och att
är delbart med 7. Detta innebär att det finns heltal s och t sådana att
och
. Vi får nu att
. Alltså är s = t och därför måste den fullständiga heltaliga lösningen till
vara
.
Tips till eleven:
a) Gissa en lösning till .
b) Sök alla heltaliga lösningar till ekvationen
c) Visa att om (n, m) och är lösningar till
så är
lösning till
d) Varje lösning (n, m) till kan nu uttryckas med
och
.
Nästa steg:
5. Generalisering. Låt a, b och c vara heltal. Undersök heltalslösningar x och y till ekvationen . Sök ett nödvändigt villkor för att
skall ha någon heltalslösning. Antag att ekvationen
har någon heltalig lösning
. Ange den fullständiga heltaliga lösningen. Sätt dig in i Euklides algoritm och ta reda på hur man hittar den allmänna heltaliga lösningen till ekvationen
när den är lösbar.