Handledning – En Diofantisk Ekvation

[latexpage]

Förkunskaper: Ma2

Syfte: Att lösa en s.k. diofantisk ekvation, använda begreppet delbarhet av hela tal.

Lösningsförslag inkl. elevtips
Man inser att $\left( {n_0 ,m_0 } \right)$ = (2, 5) är en lösning. $\left( {2 + 3s,5 + 7s} \right)$ är lösningar för alla heltal s. Detta inser man genom insättning i ekvationen. Om (n, m) är en lösning får vi att $7\left( {n – 2} \right) – 3\left( {m – 5} \right) = 7n – 3m + 1 = – 1 + 1 = 0$. Detta ger $7\left( {n – 2} \right) = 3\left( {m – 5} \right)$ vilket innebär att $n – 2$ är delbart med 3 och att $\left( {m – 5} \right)$ är delbart med 7. Detta innebär att det finns heltal s och t sådana att $n – 2 = 3s$ och $n – 5 = 7t$. Vi får nu att $7 \cdot 3s = 7\left( {n – 2} \right) = 3\left( {m – 5} \right) = 3 \cdot 7t$. Alltså är s = t och därför måste den fullständiga heltaliga lösningen till $ 7n – 3m = – 1 $ vara $ ( n,m ) = ( 2 + 3s,5 + 7s ) $.

Tips till eleven:
a) Gissa en lösning till $7n – 3m = – 1$.
b) Sök alla heltaliga lösningar $\left( {n_h ,m_h } \right)$ till ekvationen $7n – 3m = 0$
c) Visa att om (n, m) och $\left( {n_0 ,m_0 } \right)$ är lösningar till $7n – 3m = – 1$ så är $\left( {n – n_0 ,m – m_0 } \right)$ lösning till $7n – 3m = 0$
d) Varje lösning (n, m) till $7n – 3m = – 1$ kan nu uttryckas med $\left( {n_0 ,m_0 } \right)$ och $\left( {n_h ,m_h } \right)$.

Nästa steg:
5. Generalisering. Låt a, b och c vara heltal. Undersök heltalslösningar x och y till ekvationen $ax + by + c = 0$. Sök ett nödvändigt villkor för att $ax + by + c = 0$ skall ha någon heltalslösning. Antag att ekvationen $ax + by + c = 0$ har någon heltalig lösning $\left( {x_0 ,y_0 } \right)$. Ange den fullständiga heltaliga lösningen. Sätt dig in i Euklides algoritm och ta reda på hur man hittar den allmänna heltaliga lösningen till ekvationen $ax + by + c = 0$ när den är lösbar.