Handledning – En Trigonometrisk Ekvation

[latexpage]
Förkunskaper: Trigonometriska funktioner. Ma4.
Syfte: Lösa en trigonometrisk ekvation, som leder till en diofantisk ekvation.

Lösningsförslag inkl elevtips:

a. Eftersom $\sin 3x \le 1$ och $\sin 7x \le 1$ är lösningarna till $\sin 3x + \sin 7x = 2$ de gemensamma lösningarna till $\sin 3x = 1$ och $\sin 7x = 1$.

b. Lösningarna till $\sin 3x = 1$ och $\sin 7x = 1$ är $x = \frac{\pi }{6} + \frac{{n2\pi }}{3}$ för alla heltal n respektive $x = \frac{\pi }{{14}} + \frac{{m2\pi }}{7}$ för alla heltal m.

c. Sök alla värden på m och n så att $\frac{\pi }{6} + \frac{{n2\pi }}{3} = \frac{\pi }{{14}} + \frac{{m2\pi }}{7} \Leftrightarrow $ $7n – 3m = – 1$

d. En lösning till $7n – 3m = – 1$ är $\left( {n,m} \right) = \left( {2,5} \right)$.

e. Den fullständiga heltalslösningen till ekvationen $7n – 3m = – 1$ är $\left( {n,m} \right) = \left( {2 + 3s,5 + 7s} \right)$ där s är ett heltal. Se En diofantisk ekvation.

f. Fullständig lösning till (1) är $x = \frac{\pi }{6} + \left( {2 + 3s} \right)\frac{{2\pi }}{3}$ eller $x = \frac{\pi }{{14}} + \left( {5 + 7s} \right)\frac{{2\pi }}{7}$, där s är ett heltal.