Handledning – En Trigonometrisk Ekvation

Handledning – En Trigonometrisk Ekvation


Förkunskaper: Trigonometriska funktioner. Ma4.
Syfte: Lösa en trigonometrisk ekvation, som leder till en diofantisk ekvation.

Lösningsförslag inkl elevtips:

a. Eftersom \sin 3x \le 1 och \sin 7x \le 1 är lösningarna till \sin 3x + \sin 7x = 2 de gemensamma lösningarna till \sin 3x = 1 och \sin 7x = 1.

b. Lösningarna till \sin 3x = 1 och \sin 7x = 1 är x = \frac{\pi }{6} + \frac{{n2\pi }}{3} för alla heltal n respektive x = \frac{\pi }{{14}} + \frac{{m2\pi }}{7} för alla heltal m.

c. Sök alla värden på m och n så att \frac{\pi }{6} + \frac{{n2\pi }}{3} = \frac{\pi }{{14}} + \frac{{m2\pi }}{7} \Leftrightarrow 7n - 3m = - 1

d. En lösning till 7n - 3m = - 1 är \left( {n,m} \right) = \left( {2,5} \right).

e. Den fullständiga heltalslösningen till ekvationen 7n - 3m = - 1 är \left( {n,m} \right) = \left( {2 + 3s,5 + 7s} \right) där s är ett heltal. Se En diofantisk ekvation.

f. Fullständig lösning till (1) är x = \frac{\pi }{6} + \left( {2 + 3s} \right)\frac{{2\pi }}{3} eller x = \frac{\pi }{{14}} + \left( {5 + 7s} \right)\frac{{2\pi }}{7}, där s är ett heltal.