Handledning – Ett gränsvärdesproblem för punkter i planet
[latexpage]
Förkunskaper: Kartesiska koordinatsystemet (talplanet); Pytagoras; gränsvärde; Ma3
Syfte: Uppgiften skall ge förståelse för och träning i att räkna med (handskas med) gränsvärde och detta medelst ett geometriskt åskådligt problem
Tips till eleven:
Skriv upp avståndet (utan belopp), gränsvärdesproblem av typ ”$ \infty-\infty $” kan ofta behandlas som problem av typ ”$ \frac{\infty}{\infty} $” genom att förlänga med ”konjugatuttrycket”.
Vi löser a) [b) löses på samma sätt]:
$$ \begin{array}{rl} d(P_{1},(x,0))-d(P_{2},(x,0)) &=\sqrt{(x_{1}-x)^{2}+(y_{1}-0)^{2}} -\sqrt{(x_{2}-x)^{2}+(y_{2}-0)^{2}}=\\ &=\frac{ (x_{1}-x)^{2}+(y_{1})^{2}-((x_{2}-x)^{2}+(y_{2})^{2}) }{ \sqrt{(x_{1}-x)^{2}+(y_{1})^{2}} +\sqrt{(x_{2}-x)^{2}+(y_{2})^{2}} } =\frac{ (x_{1})^{2}-2x_{1}x+(y_{1})^{2}-(x_{2})^{2}+2x_{2}x-(y_{2})^{2} }{ \sqrt{ (x_{1}-x)^{2}+(y_{1})^{2} } +\sqrt{ (x_{2}-x)^{2}+(y_{2})^{2} } }\\ &=\frac{ \frac{ x_{1}^{2}-x_{2}^{2}+y_{1}^{2}-y_{2}^{2} }{ x }-2x_{1}+2x_{2} }{ \sqrt{(\frac{x_{1}}{x}-1)^{2}+(\frac{y_{1}}{x})^{2}} +\sqrt{(\frac{x_{2}}{x}-1)^{2}+(\frac{y_{2}}{x})^{2} } } \rightarrow \frac{ 0+2(x_{2}-x_{1}) }{ \sqrt{1+0}+\sqrt{1+0} } =x_{2}-x_{1} \end{array} $$
då x går mot oändligheten (ty $ \frac{\mbox{konstant}}{x} \rightarrow 0 \text{ då } x \rightarrow \infty$).
Vi ser alltså att gränsvårdet av |$ d(P_{1},P)-d(P_{2},P) $| då $ x \rightarrow \infty $ är differensen av punkternas x-koordinater, analogt differensen av punkternas y-koordinater då $ y \rightarrow \infty $.
Se nu problemet enbart geometriskt: en punkt P avlägsnar sig längs en godtycklig linje l, gränsvärdet är då avståndet av de vinkelräta projektionerna av punkterna på linjen l; speciellt, då man tar som l linjen genom punkterna, så är gränsvärdet avståndet mellan punkterna (se figur).
Man kan beräkna gränsvärdet då P avlägsnar sig längs en linje $ y=kx+m $ och konstatera att det beror enbart på linjens lutning k (dvs är oberoende av m, alltså samma som för linjen $ y=kx $ genom origo.
