Handledning – Felaktig Deriveringsregel

[latexpage]
Förkunskaper: Framförallt Ma4. Ma5 (differentialekvationer) för en av lösningarna till d).
Syfte: Träna deriveringsregler

Lösningsförslag inkl elevtips:
a) Låt $f(x)=g(x)=x$. Då är $(f(x)\cdot g(x))’ = 2x$ men $f'(x) = g'(x) = 1$ så $f'(x) \cdot g'(x) = 1$.

b) Låt $f(x)$ vara ett polynom av grad $n>0$ och $g(x)$ ett polynom av grad $m>0$. Då har $(f(x) \cdot g(x))’$ graden $n+m-1$ medan $f'(x) \cdot g'(x)$ har graden $n+m-2$.

c) Med $f(x) = g(x) = e^{2x}$ fås $f'(x) = g'(x) = 2e^{2x}$ så $f'(x) \cdot g'(x) = 4 e^{4x}$ medan $f(x) \cdot g(x) = e^{4x}$ så $(f(x) \cdot g(x))’ = 4 e^{4x}$.

d)
Ma5: Låt alltså $f(x) = g(x)$. Vill vill då undersöka om $(f(x)^2)’ = 2 f(x)f'(x) $ kan fås identiskt lika med $f'(x)f'(x)$. Om vi förutsätter att $f'(x)$ är nollskild (för varje $x$) är det ekvivalent med att lösa differentialekvationen $f'(x) = 2f(x)$. Lösningarna är $f(x) = Ce^{2x}$ där $C$ är en godtycklig konstant. Sådana funktioner duger alltså.

Ma4: De konstanta funktionerna som svarar mot att $f'(x)$ är identiskt lika med noll duger.

e) T.ex. fungerar det med $f(x) = x$ och $g(x) = \frac{1}{1-x}$.

Nästa steg:
Fundera på om resonemanget i d) är helt vattentätt. Vad händer om $f'(x)$ är noll i enstaka punkter? Vad händer om $f'(x)$ är noll i oändligt många, men inte alla punkter?

Hur hittar man exempel som i uppgift e)?