Handledning – Fermats Stora Sats En Grundläggande Egenskap

[latexpage]
Förkunskaper: Eleven bör ha arbetat med potenser och de hela talens grundläggande egenskaper. Kunskap om begreppen bevis och motsägelsebevis är också att rekommendera.
Syfte: Att inspirera och introducera bevisföring. Fermats stora sats är också viktig historiskt sett.

Lösningsförslag inkl elevtips:
Introducera eleven i motsägelsebevisens värld. Låt dem anta att man bevisat att det inte finns lösningar i fallet $ x^p+y^p=z^p $ ($ p $ är ett udda primtal). Säg att det ändå skulle kunna finnas en lösning $ x,x_{1},y_{1},z_{1} $ för ett sammansatt tal $ n $ d.v.s. $ x_{1}^n+y_{1}^n=z_{1}^n $. Då kan detta $ n $ skrivas som en produkt av primtal. Låt $ p_{1} $ vara ett av dessa primtal d.v.s. $ n=p_{1}m $ där $ m $ är ett heltal. För lösningstrippeln $ x,x_{1},y_{1},z_{1} $ gäller då:

$ x_{1}^n+y_{1}^n=z_{1}^n \Rightarrow x_{1}^{p_{1}m}+y_{1}^{p_{1}m}=z_{1}^{p_{1}m} \Rightarrow (x_{1}^m)^{p_{1}}+(y_{1}^m)^{p_{1}}=(z_{1}^m)^{p_{1}} $.

Vi ser att trippeln $ x,x_{1}^m,y_{1}^m,z_{1}^m $ är en lösning till fermats stora sats då exponeten är ett primtal $ p_{1} $. Detta motsäger antagandet att satsen var bevisad för alla primtalsexponeter $ p $ ovan! Allstå kan det inte finnas några lösningar kopplade till någon exponent om man bevisat satsen för primtalsexponenter.

Nästa steg:
Låt eleven möta algebra,talteori,primtal och dess egenskaper o.s.v.