Handledning – Gemensamma Tangenter 1

[latexpage]
Förkunskaper: Ma3

Lösningsförslag inkl elevtips:
Antag att tangeringspunkterna är $ (x_1,y_1) $ respektive $ (x_2,y_2) $ där $ y_1=x_1^2+4 $ och $ y_2=-(x-1)^2 $.

Derivering ger $ y’_1(x_1)=2x_1 $ och $ y’_2=-2(x_2-1) $. Riktningskoefficienten $ k $ för en gemensam tangent satisfierar då följande tre ekvationer.

$ k=2x_1 $, $ k=-2(x_2-1) $ och $ k=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2} $, varav får att $ x_1=\frac{k}{2} $ och $ x_2=1-\frac k2 $ samt $ x_1^2+4+(x_2-1)^2=k(x_1-x_2) $. Insättning ger $ \frac{k^2}{4}+4+\frac{k^2}{4}=k(\frac{k}{2}-1+\frac{k}{2}) $, varav får $ k^2-2k-8=1 $, dvs $ k_{1,2}=1\pm 3 $.

Fall 1: $ k=4 $ ger $ x_1=2 $ och $ y_1=4+4=8 $, alltså tangenten $ y-8=4(x-2) \Leftrightarrow y=4x $.

Fall 2: $ k=-2 $ ger $ x_1=-1 $ och $ y_1=1+4=5 $, alltså tangenten $ y-5=-2(x+1) \Leftrightarrow y=3-2x $.