Handledning – Gemensamma Tangenter 1

Emilia Ekstrand Handledning Ma3 16 februari, 2023 | 0

Förkunskaper: Ma3

Lösningsförslag inkl elevtips:
Antag att tangeringspunkterna är $(x_1,y_1)$ respektive $(x_2,y_2)$ där $y_1=x_1^2+4$ och $y_2=-(x-1)^2$ .

Derivering ger $y'_1(x_1)=2x_1$ och $y'_2=-2(x_2-1)$ . Riktningskoefficienten $k$ för en gemensam tangent satisfierar då följande tre ekvationer.

$k=2x_1$ , $k=-2(x_2-1)$ och $k=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}$ , varav får att $x_1=\frac{k}{2}$ och $x_2=1-\frac k2$ samt $x_1^2+4+(x_2-1)^2=k(x_1-x_2)$ . Insättning ger $\frac{k^2}{4}+4+\frac{k^2}{4}=k(\frac{k}{2}-1+\frac{k}{2})$ , varav får $k^2-2k-8=1$ , dvs $k_{1,2}=1\pm 3$ .