Handledning – K2000-5

[latexpage]
Förkunskaper: grundläggande geometri, kunna bestämma max/min med hjälp av derivata. Ma3.
Syfte: Att för hand lösa ett geometriskt problem med hjälp av verktyg från analysen.

Lösningsförslag inkl elevtips:
Tips: Rita en figur där diagonalerna bildar 45° vinkel.

Försök sedan att ställa upp ett uttryck för a/b, där a är den längre och b den kortare sidan av parallellogrammen.

Undersök sedan max/min med hjälp av derivata.

Lösning: Låt ABC vara halva parallellogrammen och M diagonalernas skärningspunkt.

Vi söker maximum för kvoten a/b, vilket gör att vi kan välja |AB| fritt, för enkelhets skull väljer vi |AB| = 2 l.e.

Vi väljer en godtycklig punkt C på den andra diagonalen $ \sqrt{2} $x l.e. från M.

Pythagoras sats ger

$$ \left{ \begin{array}{l} a ^{2} = (1+x)^{2} + x^{2} \ b^{2} = (1-x)^{2} + x^{2} \end{array} \right.$$

Observera att dessa samband gäller för alla x > 0.

a > 0, b > 0 och därför är ett maximum för $ (a/b) $ ekvivalent med ett maximum för $ (a^{2}/b^{2}) $

Knep 1: Det är enklare att söka max för

$ \frac{a^{2}}{b^{2}} = \frac{(1+x)^{2}+x^{2}}{(1-x)^{2}+x^{2}} = \frac{2x^{2}+2x+1}{2x^{2}-2x+1} = $

$ = \frac{2x^{2}-2x+1+4x}{2x^{2}-2x+1} = 1 + \frac{4x}{2x^{2}-2x+1} $

Knep 2: Nu kan vi i stället söka minimum för inversen av sista termen (faktorn 4 påverkar inte resultatet)

$ f(x)= \frac{2x^{2}-2x+1}{x} = 2x-2+ \frac{1}{x} $

$ f'(x)= 2-\frac{1}{x^{2}} = 0 \Rightarrow x= \frac{1}{\sqrt{2}} $, (x > 0)

$ f”(x)= \frac{2}{x^{3}}>0 $ för $ x > 0$. f-min ger a/b-max för $|MC| = 1 \text{ l.e.} \Leftrightarrow |CD| = 2.$

Svar: När kvoten a/b är maximal, så är kvoten mellan diagonalernas längder |AB| / |CD| = 1 (ABCD är en rektangel).