Handledning – Kissing Curves

[latexpage]
Förkunskaper: Derivatan av logaritmfunktionen för olika baser. Begreppet invers funktion. Tangent. Tangeringspunkt. Ma3.
Syfte: Lösa problemet m.h.a. derivata. Ev kontrollera lösningen med grafräknaren.

Lösningsförslag inkl elevtips:
Elevtips: Funktionerna är varandras inverser, d.v.s. deras grafer är speglingar i linjen y = x. Tänk på uppgiftens namn.

Lösning: Värdet på b > 1 måste väljas så att den gemensamma tangeringspunkten ligger på linjen y = x.

För tangeringspunkten på y = x gäller att $x = b^x$ [1] och derivatan $b^x ln(b) = 1$ [2].

Insättning av [1] i [2] ger $x \cdot ln(b) = 1 \Rightarrow ln(b) = \frac{1}{x} \Rightarrow b = e^\frac{1}{x}$ [3].

Men [1] ger även att $x^\frac{1}{x} = b^{x \cdot \frac{1}{x}} \Rightarrow b = x^\frac{1}{x}$, vilket tillsammans med [3] ger $x = e$ och $b = e^\frac{1}{e}$.

Kurvorna tangerar varandra i punkten (e,e) för $b = e^\frac{1}{e} \approx 1.444668 > 1$.