Handledning – Kurvan Som Delar Lika

[latexpage]
Förkunskaper: Integralberäkningar. Ma3.
Syfte: Att lösa en lite knepigare integraluppgift.

Elevtips 1: Välj en godtycklig punkt $P = (z, z^2)$ och beräkna A.

Elevtips 2: Pröva att använda de omvända funktionerna $x = f^-1(y)$ för att kunna lösa uppgiften.

Lösningsförslag:

$ A=\int_{0}^{z}(x^{2}-\frac{x^{2}}{2})dx = \frac{z^{3}}{6} $

För att kunna ta fram ett uttryck för $B$, så ’byter vi plats’ på x- och y-axel. $C$ motsvaras då av $ x=\sqrt{y} $, $C_2$ motsvaras av $ x=g(y) $ och vi får

$ B=\int_{0}^{z^{2}}\sqrt{y}dy-\int_{0}^{z^{2}}g(y)dy=\frac{z^{3}}{6} \Rightarrow $

$ \int_{0}^{z^{2}}g(y)dy=[\frac{2y^{3/2}}{3}]^{z^{2}}-\frac{z^{3}}{6}=\frac{2z^{3}}{3}-\frac{z^{3}}{6}=\frac{z^{3}}{2} $

Vi antar att det existerar en primitiv funktion G(y), sådan att G'(y) = g(y).

$ \int_{0}^{y=z^{2}}G'(y)dy=G(z^{2})-G(0)=\frac{z^{3}}{2} \Rightarrow $

$ [y=z^{2}] \Rightarrow G(y)=\frac{y^{3/2}}{2}+G(0) \Rightarrow $

$ G'(y)=\frac{3}{4}\sqrt{y}=g(y)=x \Rightarrow y=\frac{16}{9}x^{2} $

En alternativ lösningmetod är att ansätta $ g(y)=k\sqrt{y} $ och sedan bestämma k.

Nästa steg: Undersök vad som händer med andra kurvor t.ex. räta linjer genom origo. Antag att två linjer är kända och beräkna ekvationen för den tredje.