Handledning – Ligger Punkten Inuti Triangeln

[latexpage]
Förkunskaper: Trigonometriska summaformler. Areasatsen. Ma4
Syfte: Uppnå insikter i begreppet orientering, kryssprodukt

Lösningsförslag inkl elevtips:
Låt (a, b) och (c, d) vara punkter i ett koordinatsystem. Vi undersöker uttrycket $ad – bc$

Man inser att $\left( {a,b} \right) = \left( {r_1 \cos u,r_1 \sin u} \right)$ och $\left( {c,d} \right) = \left( {r_2 \cos v,r_2 \sin v} \right)$ Vi väljer v och u så att $\left| {v – u} \right| \le \pi $

Påstående: $ad – bc > 0$ om den minsta vridning som får linjen genom origo och (a, b) att sammanfalla med linjen genom origo och (c, d) är positiv.

$ad – bc < 0$ om den minsta vridning som får linjen genom origo och (a, b) att sammanfalla med linjen genom origo och (c, d) är negativ.

Bevis:

$ad – bc = r_1 \cos u \cdot r_2 \sin v – r_1 \sin u \cdot r_2 \cos v = $

$ = r_1 r_2 \left( {\cos u \cdot \sin v – \sin u \cdot \cos v} \right)$

= $r_1 r_2 \sin \left( {v – u} \right) > 0$

om v > u, d.v.s. om den minsta vridning som över för sträckan mellan origo och (a, b) i sträckan mellan origo och (c, d) är positiv. Vi inser även att $ad – bc < 0$ om v < u, d.v.s. om den minsta vridning som över för sträckan mellan origo och (a, b) i sträckan mellan origo och (c, d) är negativ.

Vi skall nu se hur man kan avgöra kan om origo, O, ligger innanför eller utanför triangeln med hörnen i $P_1 :\left( {x_1 ,y_1 } \right)$, $P_2 :\left( {x_2 ,y_2 } \right)$ och $P_3 :\left( {x_3 ,y_3 } \right)$.

Vi inför av bekvämlighetsskäl följande definition:

$\left( {a,b} \right) \times \left( {c,d} \right) = ad – bc$. Det innebär att $P_1 \times P_2 = x_1 y_2 – x_2 y_1 $.

I den vänstra figuren ovan ser vi nu att $P_1 \times P_2 $, $P_2 \times P_3 $ och $P_3 \times P_1 $ alla är positiva. Exempelvis är den minsta vridning, som överför $OP_1 $ i $OP_2 $ positiv.

I den högra figuren ovan ser vi nu att $P_1 \times P_2 $, $P_2 \times P_3 $ och $P_3 \times P_1 $ alla är negativa. Exempelvis är den minsta vridning, som överför $OP_1 $ i $OP_2 $ negativ.

Man inser att om man flyttar O över en av triangelns sidor, $P_i P_k $ eller dess förlängning. Byter $P_i \times P_k $ tecken. Alltså gäller att $P_1 \times P_2 $, $P_2 \times P_3 $ och $P_3 \times P_1 $ alla är positiva eller alla är negativa om och endast om origo, O, ligger inuti triangeln.

Vi skall nu undersöka villkoret för att punkten (x, y) ligger inuti triangeln. Vi förskjuter, translaterar, vår triangel längs vektorn $\left( { – x, – y} \right)$

Vi ser att punkten (x, y) ligger inuti triangeln $P_1 P_2 P_3 $ om och endast om O ligger i triangeln med hörnen $\left( {x_1 – x,y_1 – y} \right)$, $\left( {x_2 – x,y_2 – y} \right)$ och $\left( {x_3 – x,y_3 – y} \right)$ vilket gäller om och endast om $\left( {x_1 – x} \right)\left( {y_2 – y} \right) – \left( {x_2 – x} \right)\left( {y_1 – y} \right)$},{$\left( {x_2 – x} \right)\left( {y_3 – y} \right) – \left( {x_3 – x} \right)\left( {y_2 – y} \right)$ och $\left( {x_3 – x} \right)\left( {y_1 – y} \right) – \left( {x_1 – x} \right)\left( {y_3 – y} \right)$ alla är > 0 eller alla är < 0.

Tips till eleven:
a. Rita figuren

b. Sätt $\left( {a,b} \right) \times \left( {c,d} \right) = ad – bc$. $\left( {a,b} \right) \times \left( {c,d} \right)$kallas kryssprodukten av (a, b) och (c, d).

c. Uttryck $ad – bc$ i $r_1 ,\;r_2 ,\;u$ och v.

d. Använd formeln för $\sin (v – u)$

e. Visa att $ad – bc > 0$ om och endast om den minsta vridning som får linjen genom origo och (a, b) att sammanfalla med linjen genom origo och (c, d) är positiv.

f. Sök ett villkor för att origo ligger i en given triangel, $P_1 P_2 P_3 $. Jämför tecknen på uttrycken $P_1 \times P_2 $, $P_2 \times P_3 $ och $P_3 \times P_1 $ när origo ligger inuti triangeln och när origo ligger utanför triangeln.

(Om $P_1 :\left( {x_1 ,y_1 } \right)$, $P_2 :\left( {x_2 ,y_2 } \right)$ är $P_1 \times P_2 = x_1 y_2 – x_2 y_1 $)

g. Sök ett villkor för att en godtycklig punkt ligger i en given triangel genom att förskjuta figuren så att du kan använda e. ovan.