Handledning – Ligger Punkten Inuti Triangeln
Förkunskaper: Trigonometriska summaformler. Areasatsen. Ma4
Syfte: Uppnå insikter i begreppet orientering, kryssprodukt
Lösningsförslag inkl elevtips:
Låt (a, b) och (c, d) vara punkter i ett koordinatsystem. Vi undersöker uttrycket

Man inser att och
Vi väljer v och u så att
Påstående: om den minsta vridning som får linjen genom origo och (a, b) att sammanfalla med linjen genom origo och (c, d) är positiv.
om den minsta vridning som får linjen genom origo och (a, b) att sammanfalla med linjen genom origo och (c, d) är negativ.
Bevis:
=
om v > u, d.v.s. om den minsta vridning som över för sträckan mellan origo och (a, b) i sträckan mellan origo och (c, d) är positiv. Vi inser även att om v < u, d.v.s. om den minsta vridning som över för sträckan mellan origo och (a, b) i sträckan mellan origo och (c, d) är negativ.
Vi skall nu se hur man kan avgöra kan om origo, O, ligger innanför eller utanför triangeln med hörnen i ,
och
.
Vi inför av bekvämlighetsskäl följande definition:
. Det innebär att
.

I den vänstra figuren ovan ser vi nu att ,
och
alla är positiva. Exempelvis är den minsta vridning, som överför
i
positiv.
I den högra figuren ovan ser vi nu att ,
och
alla är negativa. Exempelvis är den minsta vridning, som överför
i
negativ.
Man inser att om man flyttar O över en av triangelns sidor, eller dess förlängning. Byter
tecken. Alltså gäller att
,
och
alla är positiva eller alla är negativa om och endast om origo, O, ligger inuti triangeln.
Vi skall nu undersöka villkoret för att punkten (x, y) ligger inuti triangeln. Vi förskjuter, translaterar, vår triangel längs vektorn

Vi ser att punkten (x, y) ligger inuti triangeln om och endast om O ligger i triangeln med hörnen
,
och
vilket gäller om och endast om
},{
och
alla är > 0 eller alla är < 0.
Tips till eleven:
a. Rita figuren

b. Sätt .
kallas kryssprodukten av (a, b) och (c, d).
c. Uttryck i
och v.
d. Använd formeln för
e. Visa att om och endast om den minsta vridning som får linjen genom origo och (a, b) att sammanfalla med linjen genom origo och (c, d) är positiv.
f. Sök ett villkor för att origo ligger i en given triangel, . Jämför tecknen på uttrycken
,
och
när origo ligger inuti triangeln och när origo ligger utanför triangeln.
(Om ,
är
)
g. Sök ett villkor för att en godtycklig punkt ligger i en given triangel genom att förskjuta figuren så att du kan använda e. ovan.