Handledning – Lika Areor Tredjegradspolynom

Emilia Ekstrand Handledning Ma3 17 februari, 2023 | 0

Förkunskaper: Ma3, integraler, inflexionspunkter. Translation av grafer.
Syfte: Öva kreativ problemlösning/bevisföring

Lösningsförslag inkl elevtips:
Elevtips: Rita ett nytt koordinatsystem så att inflexionspunkten ligger i origo. Vad blir då kurvans respektive linjens ekvationer? Alternativt (mer formellt), låt $\alpha$ vara inflexionspunktens $x$ -koordinat. Bilda funktionen $g(x)=f(x+\alpha)-f(\alpha)$ , vilket förskjuter (translaterar) kurvan så att inflexionspunkten hamnar i origo; alla areor och former bevaras, allting bara “flyttas”.

Lösningsförslag:
Konstruera ett nytt koordinatsystem, genom parallellförskjutning av axlarna, sådant att inflexionspunkten ligger i origo. Antag att $f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ , i det nya koordinatsystemet. Vi får andraderivatan

$f''(x)= 6ax+2b$ .

Denna skall vara noll i origo, varav $b=0$ .

$b=0 \Rightarrow f(x)=ax^{3}+cx+d$ .

Men även $f(0)=0$ , så $d=0$ varav

$f(x)=ax^{3}+cx$ .

Nu till linjen. Denna kommer i det nya koordinatsystemet också att gå genom origo, och har således ekvationen $y=kx$ .

Tre skärningspunkter ger att $ax^{3}+cx-kx=0$ har tre reella lösningar, varav en är $x=0$ . De andra två ges av $ax^{2}+(c-k)=0$ som har lösningarna

$x=\pm \sqrt{\frac{k-c}{a}} =\pm\beta$ .

Antag nu att $a>0$ . Då blir areorna (från vänster till höger)

$\int_{-\beta }^{0}{(ax^{3}+(c-k)x)dx}$ respektive $\int_{0}^{\beta}{-(ax^{3}+(c-k)x)dx}$ .

Att dessa är lika kan man förvissa sig om antingen genom att resonera kring udda funktioner och symmetriska intervall, eller genom att helt enkelt beräkna integralerna. Lika är de i alla fall, vilket skulle visas. Fallet då $a<0$ är helt analogt.

Anmärkning: Jag “upptäckte” detta då jag satt och räknade, och tyckte det var ett kul samband. Jag har inte sett det någon annanstans. Emellertid är det givetvis känt; först är man ju aldrig! Alltså kanske det finns ett mycket mer elegant bevis än mitt.

Derivata Integraler

Handledning – Lika Areor Tredjegradspolynom

Handledning – Lika Areor Tredjegradspolynom

Kategori

Ämnesområde

Info

Material

Medverkande

MATTESHERPA