Handledning – Liksidiga Trianglar 1

[latexpage]
Förkunskaper: Man behöver kunna ”sinus”/”cosinus” för $60^o$ och additionsteoremet för ”sinus”, inga tips behövs. Ma4.

Lösningsförslag inkl elevtips:

Med beteckningarna enligt figur fås t. ex.

$ \frac{b}{x}=sin(\alpha), \frac{a}{x}=sin(\frac{\pi}{3}-\alpha)\Rightarrow\frac{ab}{x}=asin(\alpha)=bsin(\frac{\pi}{3}-\alpha) $

$ \Rightarrow asin(\alpha)=b(sin(\frac{\pi}{3})cos(\alpha)-cos(\frac{\pi}{3})sin(\alpha)) $

$ \Rightarrow asin(\alpha)=b(\frac{\sqrt{3}}{2}cos(\alpha)-\frac{1}{2}sin(\alpha))\Rightarrow(2a+b)sin(\alpha)=\sqrt{3}bcos(\alpha) $

$ \Rightarrow tan(\alpha)=\frac{\sqrt{3}b}{2a+b} $

$\Rightarrow x=\frac{b}{sin(\alpha)}=\frac{b\sqrt{4a^{2}+4ab+4b^{2}}}{\sqrt{3}b}=\frac{2\sqrt{a^{2}+ab+b^{2}}}{\sqrt{3}} $

$ sin(\alpha) $ fick vi med hjälp av en rätvinklig triangel: kateterna har längden $ 2a+b $ och $ \sqrt{3}b $, hypotenusan har längden $ \sqrt{(2a+b)^{2}+3b^{2}} $:

Svar: $ \frac{2\sqrt{a^{2}+ab+b^{2}}}{\sqrt{3}} $