Handledning – Liksidiga Trianglar 1

Handledning – Liksidiga Trianglar 1


Förkunskaper: Man behöver kunna ”sinus”/”cosinus” för 60^o och additionsteoremet för ”sinus”, inga tips behövs. Ma4.

Lösningsförslag inkl elevtips:

Med beteckningarna enligt figur fås t. ex.

\frac{b}{x}=sin(\alpha), \frac{a}{x}=sin(\frac{\pi}{3}-\alpha)\Rightarrow\frac{ab}{x}=asin(\alpha)=bsin(\frac{\pi}{3}-\alpha)

\Rightarrow asin(\alpha)=b(sin(\frac{\pi}{3})cos(\alpha)-cos(\frac{\pi}{3})sin(\alpha))

\Rightarrow asin(\alpha)=b(\frac{\sqrt{3}}{2}cos(\alpha)-\frac{1}{2}sin(\alpha))\Rightarrow(2a+b)sin(\alpha)=\sqrt{3}bcos(\alpha)

\Rightarrow tan(\alpha)=\frac{\sqrt{3}b}{2a+b}

\Rightarrow x=\frac{b}{sin(\alpha)}=\frac{b\sqrt{4a^{2}+4ab+4b^{2}}}{\sqrt{3}b}=\frac{2\sqrt{a^{2}+ab+b^{2}}}{\sqrt{3}}

sin(\alpha) fick vi med hjälp av en rätvinklig triangel: kateterna har längden 2a+b och \sqrt{3}b, hypotenusan har längden \sqrt{(2a+b)^{2}+3b^{2}}:

Svar: \frac{2\sqrt{a^{2}+ab+b^{2}}}{\sqrt{3}}