Handledning – Menelaos Sats

[latexpage]
Förkunskaper: Enbart elementär geometri (likformiga trianglat) behövs. Ma2
Syfte: Denna uppgift skall träna upp förmågan att ”se” likformiga objekt och kunna kombinera fakta om dessa till en given utsaga (formel).

Lösningsförslag inkl elevtips:
1. Trianglarna ”EMB” och ”EFC” är likformiga,

alltså gäller

$ \dfrac{\left\vert BE\right\vert }{\left\vert EC\right\vert }=\dfrac{\left\vert MB\right\vert }{\left\vert CF\right\vert } $ (1)

2. Trianglarna ”AMN” och ”CFN” är likformiga,

alltså gäller

$ \dfrac{\left\vert AM\right\vert }{\left\vert CF\right\vert }=\dfrac{\left\vert NA\right\vert }{\left\vert NC\right\vert }$ (2)

Multiplicera nu (1) och (2) så fås

$ \dfrac{\left\vert BE\right\vert }{\left\vert EC\right\vert }\cdot \dfrac{\left\vert AM\right\vert }{\left\vert CF\right\vert }=\dfrac{\left\vert MB\right\vert }{\left\vert CF\right\vert }\cdot \dfrac{\left\vert NA\right\vert }{\left\vert NC\right\vert }\implies \dfrac{\left\vert AM\right\vert }{\left\vert MB\right\vert }\cdot \dfrac{\left\vert BE\right\vert }{\left\vert EC\right\vert }\cdot \dfrac{\left\vert CN\right\vert }{\left\vert NA\right\vert }=1$ vsv

Nästa steg: Pröva på att visa ”Cevas”sats (Cevias Sats)med hjälp av denna sats.