Handledning – Minsta Möjliga Värde För En Trigonometrisk Summa

[latexpage]
Förkunskaper: Ma4: trigonometriska ettan, formler för dubbla vinkleln, ev. Kvadratkomplettering (Ma 2)
Syfte: att öva trigonometriska formler

Lösningsförslag inkl elevtips:
Det minsta möjliga värdet för summan $ sin 4v + cos 4v$ kan bestämmas på två olika sätt : med derivatametoden eller med kvadratkomplettering. Vi kompletterar $ sin^{4}v + cos^{4}v $ med $ 2\cdot sin^{2}v \cdot cos^{2}v $.

$ sin^{4}v + cos^{4}v + 2\cdot sin^{2}v \cdot cos^{2}v – 2\cdot sin^{2}v \cdot cos^{2}v = 1 – \frac{sin ^{2}2 v}{2}\geq \frac{1}{2} $

Svar: $ \frac{1}{2} $

Tips till elever: Kvadratkomplettera den givna summan, förenkla resultatet med en formel för dubbla vinkeln. Nu kan du undersöka vilket värde som är det minsta möjliga.

Uppgiften kan också lösas med hjälp av derivata.