Handledning – Närmevärde Till Pi

[latexpage]
Förkunskaper: Trigonometriska formler. Ma4. Rekursiva talföljder. Ma5.
Syfte: Uppnå ökade färdigheter när det gäller trigonometriska formler samt att göra en beräkning av närmevärden till $\pi$ med en rekursiv talföljd.

Lösningsförslag inkl elevtips:
a. $\cos 2x = \cos ^2 x – \sin ^2 x = 1 – 2\sin ^2 x$ ger

$\sin \frac{x}{2} = \sqrt {\frac{{1 – \cos x}}{2}} = \sqrt {\frac{{1 – \sqrt {1 – \sin ^2 x} }}{2}} $ om $0 %3c x \le \frac{\pi }{2}$}.

Det gäller därför att att $a_n = \sqrt {\frac{{1 – \sqrt {1 – a_{n – 1} ^2 } }}{2}} $

Vi får:

$\sin \frac{\pi }{{2^3 }} = \sqrt {\frac{{1 – \sqrt {1 – \sin ^2 \frac{\pi }{{2^2 }}} }}{2} = } \sqrt {\frac{{1 – \sqrt {1 – \frac{1}{2}} }}{2}} = \frac{1}{2}\sqrt {2 – \sqrt 2 } $

$\sin \frac{\pi }{{2^4 }} = \sqrt {\frac{{1 – \sqrt {1 – \sin ^2 \frac{\pi }{{2^3 }}} }}{2} = } \sqrt {\frac{{1 – \sqrt {1 – \left( {\frac{1}{2}\sqrt {2 – \sqrt 2 } } \right)^2 } }}{2}} = $

$\sqrt {\frac{{1 – \sqrt {1 – \frac{{\left( {2 – \sqrt 2 } \right)}}{4}} }}{2}} $ = $\frac{1}{2}\sqrt {2 – \sqrt {2 + \sqrt 2 } } $

Om vi definierar $f(x) = \sqrt {\frac{{1 – \sqrt {1 – x^2 } }}{2}} $ får vi att $f\left( {\frac{1}{2}\sqrt {2 – \sqrt x } } \right) = \sqrt {\frac{{1 – \sqrt {1 – \left( {\frac{1}{2}\sqrt {2 – \sqrt x } } \right)^2 } }}{2}} = \frac{1}{2}\sqrt {2 – \sqrt {2 + \sqrt x } } $, vilket ger det önskade resultatet.

b. $a_n = \sqrt {\frac{{1 – \sqrt {1 – a_{n – 1} ^2 } }}{2}} $

Se a.

Genom att göra nedanstående har man beräknat de första talen i talföljden $a_n $

c. Vi utgår från det kända gränsvärdet $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x} = 1$

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } 2^n a_n $= $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\sin \frac{\pi }{{2^n }}}}{{\frac{1}{{2^n }}}}$ = $\pi \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\sin \frac{\pi }{{2^n }}}}{{\frac{\pi }{{2^n }}}}$= $\pi \cdot 1$ = $\pi $

eftersom $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x} = 1$

Här ovan har vi beräknat $2^n a_n $ för n = 2, 3 och 4.

Tips till eleven:
Härled formeln $\sin \frac{x}{2} = \sqrt {\frac{{1 – \cos x}}{2}} = \sqrt {\frac{{1 – \sqrt {1 – \sin ^2 x} }}{2}} $. För vilka värden på x gäller formeln?

Skriv $a_n $ som funktion av $a_{n – 1} $.

Beräkna $a_n $ för några värden på n. Genom att visa att $f\left( {\frac{1}{2}\sqrt {2 – \sqrt x } } \right) = \frac{1}{2}\sqrt {2 – \sqrt {2 + \sqrt x } } $ om $f(x) = \sqrt {\frac{{1 – \sqrt {1 – x^2 } }}{2}} $ kan du förstå hur uttrycken för $a_n $ successivt bildas.

c. Använd det kända gränsvärdet $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x} = 1$