Handledning – Nollställen I Följd

[latexpage]
Förkunskaper: Derivata av polynom. Variabelsubstitution. Faktorisering av polynom. Ma3.
Syfte: Hitta det enklaste(?) sättet att lösa problemet.

Elevtips:
$ f(x)=(x-a)(x-a-d)(x-a-2d)(x-a-3d) $, naturligtvis går det att multiplicera ihop faktorerna, förenkla, derivera och försöka faktorisera derivatan, men det blir krångliga beräkningar! Knepet är att göra en substitution, så att nollställena i stället blir $ -\frac{3d}{2}, -\frac{d}{2}, \frac{d}{2}, \frac{3d}{2} $. Försök att hitta en sådan variabelsubstitution.

Lösningsförslag (Tack till Rolf P):
Substitutionen $ x=w+a+3d/2 $ ger $ f(x)=(w+\frac{3d}{2})(w+\frac{d}{2})(w-\frac{d}{2})(w+\frac{3d}{2})= $

$ =(w^{2}-\frac{9d^{2}}{4})(w^{2}-\frac{d^{2}}{4})=w^{4}-\frac{5d^{2}}{2}w^{2}+\frac{9d^{4}}{16} $.

$ f'(x)=\frac{df}{dw}\cdot\frac{dw}{dx}=f'(w)\cdot 1 = $

$ =4w^{3}-5d^{2}w=4w(w^{2}-\frac{5d^{2}}{4})=4(w+\frac{\sqrt{5}d}{2})w(w-\frac{\sqrt{5}d}{2}) $

Ersätt $ w=x-a-3d/2 $ (Den omvända substitutionen):

$ f'(x)=4(x-a-\frac{3d}{2}+\frac{\sqrt{5}d}{2})(x-a-\frac{3d}{2})(x-a-\frac{3d}{2}-\frac{\sqrt{5}d}{2}) $

Derivatans tre nollställen $ a+\frac{3d}{2}-\frac{\sqrt{5}d}{2}, a+\frac{3d}{2}, a+\frac{3d}{2}+\frac{\sqrt{5}d}{2} $ bildar en aritmetisk följd.

Nästa steg:
Markera alla nollställen på x-axeln: $x_1 = a, x_2 = a + d, x_3 = a + 2d, x_4 = a + 3d$. x’1’=a, x’2’=a+d, x’3’=a+2d, x’4’=a+3d.

Markera sedan derivatans nollställen $x_{D1}, x_{D2}, x_{D3}$, och bestäm förhållandet mellan sträckorna $x_{D1} x_2$ och $x_1 x_2$.

Känner du igen detta förhållande? $ (-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}) $

Gör någon uppgift om Gyllene snittet! Phi