Handledning – Överlagring Av Tre Sinussvängningar

Handledning – Överlagring Av Tre Sinussvängningar


Förkunskaper: Trigonometriska funktioner, faktoruppdelning av polynom, derivata. Ma4
Syfte: Att träna att tillämpa derivatan för att konstruera kurvor; dessutom träning att räkna med trigonometriska funktioner.

Lösningsförslag inkl elevtips:
Tips:
observera att funktionen f(x)=sin(x)+\frac{1}{2}sin(2x)+\frac{1}{3}sin(3x) har perioden 2\pi och är udda (f(-x)=-f(x)), det räcker alltså att konstruera kurvan för, säg, 0<x<\pi; derivatan ger sedan information om var f är växande resp. avtagande (och därmed om extrempunkter).

Räkningen: utnyttja

cos(u+v)=cos(u)cos(v)-sin(u)sin(v), cos(2x)=cos^{2}(x)-sin^{2}(x)=2cos^{2}(x)-1 \text{och } sin(2x)=2sin(x)cos(x):

f'(x)=cos(x)+cos(2x)+cos(3x)=cos(x)+2cos^{2}(x)-1+cos(2x)cos(x)-sin(2x)sin(x)=

= cos(x)+2cos^{2}(x)-1+2cos^{3}(x)-cos(x)-2sin^{2}(x)cos(x)=

= 2cos^{2}(x)-1+2cos^{3}(x)-2(1-cos^{2}(x))cos(x)=

=4cos^{3}(x)+2cos^{2}(x)-2cos(x)-1=

=4(cos(x)+\frac{1}{2})(cos(x)+\frac{1}{\sqrt{2}})(cos(x)-\frac{1}{\sqrt{2}}).

Det sista fås genom att sätta cos(x)=z och betrakta polynomet p(z)=4z^{3}+2z^{2}-2z-1=

[\text{gissa en rot } z_{0}=\frac{1}{2}]=(2z+1)(2z^{2}-1).

Gör nu en teckentabell för de tre faktorerna (brytpunkterna är \frac{\pi}{4},\frac{2\pi}{3},\frac{3\pi}{4}, så ser du att

f'>0 \text{ för } 0<x<\frac{\pi}{4} \text{ alltså }f \text{ växande där }

f'<0 \text{ för } \frac{\pi}{4}<x<\frac{2\pi}{3} \text{ alltså }f \text{ avtagande där }

f'>0 \text{ för } \frac{2\pi}{3}<x<\frac{3\pi}{4}\text{ alltså }f \text{ växande där }

f'<0 \text{ för } \frac{3\pi}{4}<x<\pi \text{ alltså }f \text{ avtagande där }.

Det ger även f:s extrempunkter:

miximipunkter i \frac{\pi}{4} +2k\pi och \frac{3\pi}{4} +2k\pi, minimipunkter i \frac{2\pi}{3} +2k\pi och \frac{5\pi}{3} +2k\pi.

Så ser grafen ut:

Nästa steg:
Räkna samma uppgift med cosinus:

Rita funktionskurvan y=cos(x)+\frac{1}{2}cos(2x)+\frac{1}{3}cos(3x), det är enklare (man kan bryta ut faktor sin(x)cos(x) ur derivatan…, nu har vi en jämn funktion som ser ut så här: