Handledning – Överlagring Av Tre Sinussvängningar

Emilia Ekstrand Handledning Ma4 21 februari, 2023 | 0

Förkunskaper: Trigonometriska funktioner, faktoruppdelning av polynom, derivata. Ma4
Syfte: Att träna att tillämpa derivatan för att konstruera kurvor; dessutom träning att räkna med trigonometriska funktioner.

Lösningsförslag inkl elevtips:
Tips: observera att funktionen $f(x)=sin(x)+\frac{1}{2}sin(2x)+\frac{1}{3}sin(3x)$ har perioden $2\pi$ och är udda ( $f(-x)=-f(x)$ ), det räcker alltså att konstruera kurvan för, säg, $0<x<\pi$ ; derivatan ger sedan information om var f är växande resp. avtagande (och därmed om extrempunkter).

Räkningen: utnyttja

$cos(u+v)=cos(u)cos(v)-sin(u)sin(v),$ $cos(2x)=cos^{2}(x)-sin^{2}(x)=2cos^{2}(x)-1$ $\text{och } sin(2x)=2sin(x)cos(x)$ :

$f'(x)=cos(x)+cos(2x)+cos(3x)$ = $cos(x)+2cos^{2}(x)-1+cos(2x)cos(x)-sin(2x)sin(x)=$

$= cos(x)+2cos^{2}(x)-1+2cos^{3}(x)-cos(x)-2sin^{2}(x)cos(x)=$

$= 2cos^{2}(x)-1+2cos^{3}(x)-2(1-cos^{2}(x))cos(x)=$

$=4cos^{3}(x)+2cos^{2}(x)-2cos(x)-1=$

$=4(cos(x)+\frac{1}{2})(cos(x)+\frac{1}{\sqrt{2}})(cos(x)-\frac{1}{\sqrt{2}})$ .

Det sista fås genom att sätta $cos(x)=z$ och betrakta polynomet $p(z)=4z^{3}+2z^{2}-2z-1=$

$[\text{gissa en rot } z_{0}=\frac{1}{2}]=(2z+1)(2z^{2}-1)$ .

Gör nu en teckentabell för de tre faktorerna (brytpunkterna är $\frac{\pi}{4},\frac{2\pi}{3},\frac{3\pi}{4}$ , så ser du att

$f'>0 \text{ för } 0<x<\frac{\pi}{4} \text{ alltså }f \text{ växande där }$

$f'<0 \text{ för } \frac{\pi}{4}<x<\frac{2\pi}{3} \text{ alltså }f \text{ avtagande där }$

$f'>0 \text{ för } \frac{2\pi}{3}<x<\frac{3\pi}{4}\text{ alltså }f \text{ växande där }$

$f'<0 \text{ för } \frac{3\pi}{4}<x<\pi \text{ alltså }f \text{ avtagande där }$ .

Det ger även f:s extrempunkter:

miximipunkter i $\frac{\pi}{4} +2k\pi$ och $\frac{3\pi}{4} +2k\pi$ , minimipunkter i $\frac{2\pi}{3} +2k\pi$ och $\frac{5\pi}{3} +2k\pi$ .

Så ser grafen ut:

Nästa steg:
Räkna samma uppgift med cosinus:

Rita funktionskurvan $y=cos(x)+\frac{1}{2}cos(2x)+\frac{1}{3}cos(3x)$ , det är enklare (man kan bryta ut faktor $sin(x)cos(x)$ ur derivatan…, nu har vi en jämn funktion som ser ut så här:

Algebra Derivata

Handledning – Överlagring Av Tre Sinussvängningar

Handledning – Överlagring Av Tre Sinussvängningar

Kategori

Ämnesområde

Info

Material

Medverkande

MATTESHERPA