Handledning – Partiell Integration

[latexpage]
Förkunskaper: Ma4. Sambandet mellan derivata och integral. Linearitet för integrering.
Syfte: Få upptäcka partiell integration genom ett konkret exempel.

Lösningsförslag inkl elevtips:
Derivering med produktregeln ger

$ D(xe^x) = D(x)e^x+xD(e^x) = e^x+xe^x $.

Vi ser att $ xe^x $ dyker upp som en term i sin egen derivata. Flyttar över och får

$ xe^x = D(xe^x)-e^x $.

Alltså finner vi att

$ \int xe^x dx = \int D(xe^x)-e^x dx = \int D(xe^x) dx – \int e^x dx $

I högerledet är ni den sista termen en enkel integral medan den första klarar vi av genom att minnas att $ \int f'(x) dx = f(x) $.

$\int xe^x dx = \int D(xe^x) dx – \int e^x dx = xe^x – e^x +C$

I denna uppgift stor själva huvudtipset redan i uppgifter: ”derivera mha produktregeln”. Dock kan man nog behöva tipsa eleven om att nu fokusera blicken på den ”nya” termen $ xe^x $ och flytta över allt annat till andra sidan.