Handledning – Periodiska Decimalutvecklingar Och Bråk

Förkunskaper: Ma1, algebra
Syfte: Se samband mellan tal på decimal form och på bråkform. Öva manipulation av algebraiska uttryck.

Lösningsförslag inkl elevtips:
Metod 1: Om talet T har periodisk decimalutveckling med periodlängd och där första perioden börjar vid decimal s, så får samma decimalutveckling som självt. Alltså blir ett heltal. Löser man ut finner man att .

Metod 2: Bygger på observationen att

osv

Nu kan varje mellan 0 och 1 som har periodisk decimalutveckling med periodlängd , och vars första period börjar vid första decimalen, skrivas som en linjärkombination av de första talen av ovanstående typ tabell, dvs

.

Detta ser man genom att man så att första decimalen i blir 0. Då blir även första decimalerna i varje period 0. Sedan väljer man så att andra decimalen i blir 0. Då blir alltså de två första decimalerna i varje period 0. Genom att fortsätta på detta vis kan man få alla decimaler att bli 0 och har då funnit talen så att .

Idén generaliseras sedan till tal med belopp > 1 och till tal med decimalutvecklingen som blir periodisk först efter ett tag. I det sista faller får förlänga med lämplig 10 potens, precis som i Metod 1 ovan, för att får ett tal med decimalutveckling som är periodisk direkt från och med första decimalen.