Handledning – Periodiska Decimalutvecklingar Och Bråk
Förkunskaper: Ma1, algebra
Syfte: Se samband mellan tal på decimal form och på bråkform. Öva manipulation av algebraiska uttryck.
Lösningsförslag inkl elevtips:
Metod 1: Om talet T har periodisk decimalutveckling med periodlängd och där första perioden börjar vid decimal s, så får
samma decimalutveckling som
självt. Alltså blir
ett heltal. Löser man ut
finner man att
.
Metod 2: Bygger på observationen att
osv
Nu kan varje mellan 0 och 1 som har periodisk decimalutveckling med periodlängd
, och vars första period börjar vid första decimalen, skrivas som en linjärkombination av de
första talen av ovanstående typ tabell, dvs
.
Detta ser man genom att man så att första decimalen i
blir 0. Då blir även första decimalerna i varje period 0. Sedan väljer man
så att andra decimalen i
blir 0. Då blir alltså de två första decimalerna i varje period 0. Genom att fortsätta på detta vis kan man få alla decimaler att bli 0 och har då funnit talen
så att
.
Idén generaliseras sedan till tal med belopp > 1 och till tal med decimalutvecklingen som blir periodisk först efter ett tag. I det sista faller får förlänga med lämplig 10 potens, precis som i Metod 1 ovan, för att får ett tal med decimalutveckling som är periodisk direkt från och med första decimalen.