Handledning – Periodiska Decimalutvecklingar Och Bråk

[latexpage]
Förkunskaper: Ma1, algebra
Syfte: Se samband mellan tal på decimal form och på bråkform. Öva manipulation av algebraiska uttryck.

Lösningsförslag inkl elevtips:
Metod 1: Om talet T har periodisk decimalutveckling med periodlängd $ n $ och där första perioden börjar vid decimal s, så får $ T\cdot 10^s\cdot 10^n $ samma decimalutveckling som $ T \cdot 10^s $ självt. Alltså blir $ T10^s10^n-T*10^s=M $ ett heltal. Löser man ut $ T $ finner man att $ \displaystyle T=\frac{M}{(10^n-1)10^s} $.

Metod 2: Bygger på observationen att

$ \frac 19 = 0,111111\cdots $

$ \frac 1{99} = 0,010101\cdots $

$ \frac 1{999} = 0,001001001001001\cdots $

$ \frac 1{9999} = 0,00010001000100010001\cdots $ osv

Nu kan varje $ P $ mellan 0 och 1 som har periodisk decimalutveckling med periodlängd $ n $, och vars första period börjar vid första decimalen, skrivas som en linjärkombination av de $ n $ första talen av ovanstående typ tabell, dvs

$ P = k_1\frac 19 + k_2\frac{1}{99}+\cdots +k_n\frac{1}{\underbrace{9\cdots9}_{\mbox{n stycken}}} $.

Detta ser man genom att man $ k_1 $ så att första decimalen i $ P-k_1\frac 19 $ blir 0. Då blir även första decimalerna i varje period 0. Sedan väljer man $ k_2 $ så att andra decimalen i $ P-k_1\frac 19 -k_2\frac 1{99}$ blir 0. Då blir alltså de två första decimalerna i varje period 0. Genom att fortsätta på detta vis kan man få alla decimaler att bli 0 och har då funnit talen $ k_i $ så att $ P = k_1\frac 19 + k_2\frac{1}{99}+\cdots +k_n\frac{1}{9\cdots9} $.

Idén generaliseras sedan till tal med belopp > 1 och till tal med decimalutvecklingen som blir periodisk först efter ett tag. I det sista faller får förlänga $ T $ med lämplig 10 potens, precis som i Metod 1 ovan, för att får ett tal med decimalutveckling som är periodisk direkt från och med första decimalen.