Handledning – Punkt I En Liksidig Triangel Med Givet Avstånd Till Hörnpunkterna

[latexpage]
Förkunskaper: Egentligen kräver denna uppgift inget annat än enkel geometri (liksidig triangel, Pytagoras). Men man måste troligtvis ge några tips hur man skall börja. Ma2.

Lösningsförslag inkl elevtips:
Se figuren:

Rita den liksidiga triangeln PCF med sidorna 3, då är trianglarna PCB och FAC kongruenta
($ AC = BC, FC = PC = 3$ och $\angle PCB = \angle ACF = 60^o – \alpha$ där $\alpha = \angle ACP.$)

Det visar att sidan AF har längd 5, alltså är vinkeln $\angle APF = 90^o$. Förläng sträckan CP till punkten E så att $\angle AEC = 90^o, \angle APE \text{ är } 30^o$ ($=180^o – 60^o – 90^o$), då kan du beräkna längden av $AE = 4 \cdot \frac{1}{2}$ och längden av $EP = 4 \cdot 3^\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = 2 \cdot 3^\frac{1}{2}$ och den sökta triangelsidan AC har längden

$|AC| = (|AE|^2 + (|EP| + 3)^2)^\frac{1}{2} = (4 + (2 \cdot 3^\frac{1}{2} + 3)^2)^\frac{1}{2} = (25 + 12 \cdot 3^\frac{1}{2})^\frac{1}{2}.$

Du kan lika gärna börjakring A: Rita linjen PD vinkelrät mott CP med längd $|PD| = 4$, då är triangeln ADP liksidig ty DC har längd 5 (Pytagoras), alltså är triangeln ADC kongruent triangeln APB (två lika långa sidor och samma vinkel $60^o – \beta, \beta = \angle CAP$; rita höjden från C mot förlängningen av linjen genom AP, det ger skärningspunkten $G, \angle CPG \text{ är } 30^o$. Alltså är

$|AC| = (|CG|^2 + (|GP| + 4)^)^\frac{1}{2} = ((\frac{1}{2} \cdot 3)^2 + (3 \cdot 3^\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 4)^2)^\frac{1}{2} = (25+12 \cdot 3^\frac{1}{2})^\frac{1}{2}.$

Svar: $ \sqrt{25+12\sqrt{3}} $