Handledning – Punkt I En Liksidig Triangel Med Givet Avstånd Till Hörnpunkterna

Handledning – Punkt I En Liksidig Triangel Med Givet Avstånd Till Hörnpunkterna


Förkunskaper: Egentligen kräver denna uppgift inget annat än enkel geometri (liksidig triangel, Pytagoras). Men man måste troligtvis ge några tips hur man skall börja. Ma2.

Lösningsförslag inkl elevtips:
Se figuren:

Rita den liksidiga triangeln PCF med sidorna 3, då är trianglarna PCB och FAC kongruenta
(AC = BC, FC = PC = 3 och \angle PCB = \angle ACF = 60^o - \alpha där \alpha = \angle ACP.)

Det visar att sidan AF har längd 5, alltså är vinkeln \angle APF = 90^o. Förläng sträckan CP till punkten E så att \angle AEC = 90^o, \angle APE \text{ är } 30^o (=180^o - 60^o - 90^o), då kan du beräkna längden av AE = 4 \cdot \frac{1}{2} och längden av EP = 4 \cdot 3^\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = 2 \cdot 3^\frac{1}{2} och den sökta triangelsidan AC har längden

|AC| = (|AE|^2 + (|EP| + 3)^2)^\frac{1}{2} = (4 + (2 \cdot 3^\frac{1}{2} + 3)^2)^\frac{1}{2} = (25 + 12 \cdot 3^\frac{1}{2})^\frac{1}{2}.

Du kan lika gärna börjakring A: Rita linjen PD vinkelrät mott CP med längd |PD| = 4, då är triangeln ADP liksidig ty DC har längd 5 (Pytagoras), alltså är triangeln ADC kongruent triangeln APB (två lika långa sidor och samma vinkel 60^o - \beta, \beta = \angle CAP; rita höjden från C mot förlängningen av linjen genom AP, det ger skärningspunkten G, \angle CPG \text{ är } 30^o. Alltså är

|AC| = (|CG|^2 + (|GP| + 4)^)^\frac{1}{2} = ((\frac{1}{2} \cdot 3)^2 + (3 \cdot 3^\frac{1}{2}  \cdot \frac{1}{2} + 4)^2)^\frac{1}{2} = (25+12 \cdot 3^\frac{1}{2})^\frac{1}{2}.

Svar: \sqrt{25+12\sqrt{3}}