Handledning – Pytagoreiska Tripplar
[latexpage]
Förkunskaper: Ma2, Ma3, Ma4, Ma5
Syfte: Att kunna sammanfatta sina kunskaper utifrån enkla förutsättningar och därefter utföra ett bevis.
Lösningsförslag inkl elevtips:
i) Notera först att påståendet är ekvivalent med att åtminstone ett tal i trippeln alltid är jämnt, dvs. delbart med $2$. Notera sedan att kvadraten på ett udda tal alltid är udda och kvadraten på ett jämnt tal alltid är jämnt.
Anta att två av talen $a^2$, $b^2$ och $c^2$ är udda. Det tredje är antingen summan ($c^2=a^2+b^2$) eller differensen ($a^2=c^2-b^2$ eller $b^2=c^2-a^2$) av kvadraterna på de två övriga. Eftersom både summan och differensen av två udda tal blir jämn innebär detta att åtminstone ett av tre pytagoreiska tal är jämn (i själva verket ett eller tre är jämna). Påståendet är därmed visat.
ii) Varje positivt heltal kan skrivas på något av följande sätt; $5n$, $5n+1$, $5n+2$, $5n+3$, $5n+4$ där $n$ är ett heltal, dvs. resten vid division med $5$ är ett heltal, $k$, sådant att $0\leq k\leq 4$.
Om man kvadrerar dessa tal får man ett nytt tal på denna form (se tabellen nedan).
| $x$ | $x^2$ |
|---|---|
| $5n$ | $(5n)^2=25n^2=5\cdot5n^2=5m$ |
| $5n+1$ | $(5n+1)^2=25n^2+10n+1=5(5n^2+2n)+1=5m+1$ |
| $5n+2$ | $(5n+2)^2=25n^2+20n+4=5(5n^2+4n)+4=5m+4$ |
| $5n+3$ | $(5n+3)^2=25n^2+30n+9=5(5n^2+6n+1)+4=5m+4$ |
| $5n+4$ | $(5n+4)^2=25n^2+40n+16=5(5n^2+8n+3)+1=5m+1$ |
Detta betyder bl.a. att summan av kvadraterna på två tal på formen $5n+1$ inte kan ingå i en pytagoreisk trippel för då skulle summan vara på formen $5n+2$ och detta är inte möjligt. Alla kvadrater är ju på någon av formerna $5n$, $5n+1$ eller $5n+4$ (Här kan man be eleven skriva upp $10$-$20$ stycken kvadrater och se på vilken form de är).
Anta att två av talen ”inte” är delbara med $5$ (skulle något av dessa vara delbart med $5$ gäller ju påståendet). Då blir följande fall möjliga:
| $a^2$ | $b^2$ | $c^2=a^2+b^2$ | Kommentar |
|---|---|---|---|
| $5m+1$ | $5m+1$ | $5m+2$ | omöjlig |
| $5m+1$ | $5m+4$ | $5m$ | $c$ ev. delbar med $5$ |
| $5m+4$ | $5m+4$ | $5m+3$ | omöjlig |
| $c^2$ | $a^2$ | $b^2=c^2-a^2$ | Kommentar |
|---|---|---|---|
| $5m+1$ | $5m+1$ | $5m$ | $b$ ev. delbar med $5$ |
| $5m+1$ | $5m+4$ | $5m+2$ | omöjlig |
| $5m+4$ | $5m+1$ | $5m+3$ | omöjlig |
| $5m+4$ | $5m+4$ | $5m$ | $b$ ev. delbar med $5$ |
I de fall där den beräknade kvadraten är delbar med $5$ är antingen talet ($b$ eller $c$) delbart med $5$ eller så är det inte möjligt att skapa en trippel. I alla de fall där en pytagoreisk trippel är möjlig är ett av talen delbart med $5$ vilket vad det som skulle visas.
Beviset blir något kortare om eleven är bekant med kongruensräkning från kursen Matematik 5.
iii) Ja, minst ett av talen är alltid delbart med $3$. Det finns heller inga fler tal än $2$, $3$ resp. $5$ som uppfyller det önskade villkoret. Tänk på att den pytagoreiska trippeln med minst tal är $(3,4,5)$.
