Handledning – Rationell Trigonometri

[latexpage]
Förkunskaper: Ma3, trigonometri
Syfte: Introducera ett alternativt sätt att definiera trigonometriska funktioner.

Lösningsförslag inklusive elevtips:
1. Man får att

$$\displaystyle Q(p,q)=\sqrt{ (a-c)^2+(b-d)^2 }^2 =( a-c)^2+(b-d)^2. $$

Man kallar detta sträckans kvadrans.

2. Vi får kongruenta trianglar oberoned var vi lägger den ortogonala linjen eftersom två av vinklarna är de samma.

För två kongruenta trianglar $\triangle$ABC och $\triangle$ abc gäller att kvoter mellan två sidor är lika dvs tex

$$ \frac{|AB|}{|BC|}=\frac{ab}{bc}$$

Eftersom s(l,L) är kvadraten på en sådan kvot är den oberoende av var den läggs. Man kallar s(l,L) spridningen mellan linjerna.

3. Svar $0, \frac 14, \frac 34$ och 1 eftersom tex $\sin^2(60^{\circ})=(\frac{\sqrt 3}{2})^2=\frac 34$.

4. Betrakta linjerna l’ och L’ givna av ekvationerna ax+by=0 och Ax+By=0. Vi har då att s(l’,L’)=s(l.L) eftersom l’ och L’ bara är parallellförflyttningar av l respektive L. En linje ortogonal mot linjen Ax+By=0 har ekvationen Bx-Ay=K för något K. Väljer att linjen skall skära L’ i punkten $p=(B,-A)$. Får då att $K=B^2+A^2$, dvs den ortogonala linjen M har ekvationen $Bx-Ay=A^2+B^2$.

Söker nu Ms skärningspunkt med l’, löser därför ekvationssystemet

$$ \left{ \begin{array}{l} ax+by=0\\ Bx-Ay=A^2+B^2\end{array}\right.$$

Får då att skärningspunkten q har koordinater

$$\displaystyle \left{ \begin{array}{l} x=b\frac{A^2+B^2}{aA+bB}\\ y=-a\frac{A^2+B^2}{aA+bB}\end{array}\right.$$

Finner då att

$$ \begin{array}{l} Q(p,q) = ( B-b \frac{ A^2+B^2 }{ aA+bB })^2+(-A+a\frac{ A^2+B^2 }{ aA+bB })^2= \\ = \frac{ (B(aA+bB)-b(A^2+B^2))^2+(-A(aA+bB)+a(A^2+B^2))^2 }{ (aA+bB)^2 } = \\ {} = \frac{ (A(aB-bA))^2+(B(aB-bA))^2 }{ (aA+bB)^2 } = \\ {} = \frac{(A^2+B^2)(aB-bA)^2}{(aA+bB)^2} \end{array} $$

Låt O beteckna origo, då får vi att

$$ Q(O,q)=(b\frac{A^2+B^2}{aA+bB})^2+(-a\frac{A^2+B^2}{aA+bB})^2=\frac{ (a^2+b^2)(A^2+B^2) }{ (aA+bB)^2 } $$

vilket ger att

$$ s(l,L)=\frac{ Q(p,q) }{ Q(O,q) }=\frac{ \frac{ (A^2+B^2)(aB-bA)^2 }{ (aA+bB)^2} }{ \frac{ (a^2+b^2)(A^2+B^2) }{ (aA+bB)^2 } }= \frac{ (aB-bA)^2 }{ (a^2+b^2)(A^2+B^2) } $$

5. Låt oss betrakta en triangel med kvadranser och spridningar enligt följande figur:

Pythagoras sats:

Antag att vinkeln vis $s_3$ är rät dvs att $s_3=1$. Eftersom kvadransen är kvadraten av längden ger Pythagoras sats sambandet $Q_1+Q_2=Q_3$.

Sinussatsen:

Genom att kvadrera kvoterna i sinussatsen ser vi att

$\frac{s_1}{Q_1}=\frac{s_2}{Q_2}=\frac{s_3}{Q_3}$

Cossinussatsen:

Kvadrera cosinussatsen och utnyttja trigonometriska ettan för att få att

$(Q_1+Q_2-Q_3)^2=4Q_1Q_2(1-s_3)$.

Nästa steg:
Länkar: http://en.wikipedia.org/wiki/Rational_trigonometry