Handledning – Regelbundna N-hörningar

Handledning – Regelbundna N-hörningar


Förkunskaper: Ma3
Syfte: Öva problemlösning med trigonometri, speciellt sinussatsen.

Lösningsförslag inkl elevtips:
Avstånd mellan intilliggande hörn.

Medelpunktsvinkeln c_1 för radierna i n-hörningen som går igenom två hörn intilliggande hörn är

    \[c_1=\frac{2\pi}{n}.\]

Om d_1 betecknar avståndet mellan två intilligande hörn säger då sinussatsen att

    \[\frac{d_1}{\sin{\frac{2\pi}{n}}}=\frac{r}{\sin \alpha}\]

där c_1+2\alpha =\pi, dvs \alpha=\pi (\frac{1}{2}-\frac{1}{n}). Detta ger då att

    \[d_1=r\frac{\sin\frac{2\pi}{n}}{\sin \alpha }=r\frac{\sin\frac{2\pi}{n}}{\sin(\pi(\frac{1}{2}-\frac{1}{n}))}\]

Avstånd mellan godtyckliga hörn.

Medelpunktsvinkeln för radierna i cirkeln som går igenom två hörn A och B på n-hörningen är

    \[c_k=k\frac{2\pi}{n},\]

där k är antalet kanter mellan A och B.

Betrakta den cirkel som omskriver en regelbunden n-hörning med radie r. Randvinkeln blir då enligt randvinkelsatsen halva medelpunktsvinkeln, dvs

    \[p_k=k\frac{\pi}{n}.\]

Låt d_k beteckna avståndet mellan två hörn med k kanter emellan. Då ger sinussatsen att

    \[\frac{d_k}{\sin p_k}=\frac{d_1}{\sin p_1}.\]

dvs

    \[\begin{array}{l} d_k = d_1\frac{\sin p_k}{\sin p_1} = d_1\frac {\sin(k\frac{\pi}{n} )}{\sin\frac{\pi}{n}}= r\frac{\sin\frac{2\pi}{n}}{\sin(\pi(\frac{1}{2}-\frac{1}{n}))}\cdot\frac {\sin(k\frac{\pi}{n} )}{\sin\frac{\pi}{n}}=\\ = r\frac{\cos\frac{\pi}{n}\sin(k\frac{\pi}{n} )}{\sin(\pi(\frac{1}{2}-\frac{1}{n}))} \end{array}\]

Ytterligare förenkling är säkert möjligt.