Handledning – Seven Eleven

[latexpage]
Förkunskaper: Inga särskilda förkunskaper krävs.
Syfte: Introduktion till diofantiska ekvationer. Öva problemlösning.

Lösningsförslag inkl elevtips:
Alternativ 1:

Elevtips:
Följande strategi kan vara lämplig: Försök att hitta sju tal i rad som kan betalas, dvs sju tal i rad som kan skrivas som 7a+11b, där a och b är positiva heltal. Vad händer med det åttonde talet?

Lösningsförslag:
Svaret är 59.

Man kontrollerar lätt att 59 inte kan skrivas som en summa 7a + 11b med positiva heltal a och b. Däremot är

60 = 7·7 + 1·11

61 = 4·7 + 3·11

62 = 1·7 + 5·11

63 = 9·7

64 = 6·7 + 2·11

65 = 3·7 + 4·11

66 = 6·11

Man har alltså sju på varandra följande tal som är en summa av sjuor och ”elvor”. Då kan också alla större tal skrivas så genom att man lägger till ett antal sjuor.

Till exempel är ju

67 = 60 + 7 ; 68 = 61 + 7 osv.

Alternativ 2:
Elevtips: Ta ett rutat papper, markera 11 kolumner och tänk att alla naturliga tal har var sin ruta. 1-11 i översta raden, 12-22 på nästa rad, etc. Sålla bort alla tal som kan bildas av multipler av 7 och 11.

Lösningsförslag:
Gör ett slags Erathostenes såll för talet 7: stryk hela 7:e kolumnen, stryk sedan 3:e kolumnen från talet 14 och nedåt, stryk 10:e kolumnen från talet 21 och nedåt etc. Att man stryker hela kolumnen nedanför en multipel av 7 (7a) betyder att alla dessa tal kan bildas, som 7a+11·b för ett visst värde på a, men med olika värden på b.

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22
23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33
34	35	36	37	38	39	40	41	42	43	44
45	46	47	48	49	50	51	52	53	54	55
56	57	58	59	60	61	62	63	64	65	66
67	68	69	70	71	72	73	74	75	76	77

När vi strukit kolumnerna under 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63 och 70 kan vi också ’sålla bort’ hela den 11:e kolumnen (a=0). Då är vi klara: Det största talet som inte är struket är 59 (6:e raden, 4:e kolumnen). I tabellen ovan är strukna tal i normal stil, ostrukna i fet.