Handledning – Sfär I Tetraeder

Handledning – Sfär I Tetraeder

[latexpage]
Förkunskaper: Ma2, Ma3, Ma4. Pytagoras sats, likformiga trianglar, rymdgeometri

Lösningsförslag inkl elevtips:
Svar: $\frac{a\sqrt{6}}{12}$

Antag att tetraederns hörn är A, B, C och D. Lägg ett plan (PL) genom två hörn (A och D) och tetraederns mittpunkt O. Detta plan skär BC i mittpunkten E.

Antag att Q är medelpunkten i triangeln ABC. Då är $|AE|=\frac{a\sqrt{3}}{2}$, $b=|AQ|=\frac{2a\sqrt{3}}{3\cdot 2}$, $c=|QE|=\frac{1a\sqrt{3}}{3\cdot 2}$. Pythagoras sats ger $h=|DQ|=\sqrt{(b+c)^2-c^2}=\frac{a\sqrt{6}}{3}$.

Likformiga trianglar $\triangle DOP$ och $\triangle DEQ$ ger att $\frac Rc=\frac bh$, dvs $R=\frac {bc}{h}=\frac{a\sqrt 3}{3}\frac{a\sqrt 3}{6}\frac{3}{a\sqrt 6}=\frac{a\sqrt 6}{12}$