Handledning – Sfärisk Vattentank

[latexpage]
Förkunskaper: Ma3
Syfte: Träna derivatans och andraderivatans betydelse som hastighet.

Lösningsförslag inkl elevtips:
a) $H'(t)$ är det hastighet med vilken vattenytan i tanken höjs. Eftersom det hela tiden är ett tillflöde måste $H'(t) > 0,$ men dock ej konstant.

$V'(t)$ är den hastighet med vilken volym i tanken ökar. Eftersom det, enligt förutsättningarna är ett tillflöde samma volymenhet/tidsenhet hela tiden så måste $V'(t) > 0$ och dessutom vara konstant.

b) Vi konstaterade i a) att $V'(t)$ är konstant. Alltså måste $V”(t)=0$.

c) Eftersom $V'(t)$ är konstant kommer $H'(t)$ i varje ögonblick att vara omvänt proportionell mot vattenytans area. Det betyder således att $H'(t)$ avtar fram till den tidpunkt då tanken är halvfull för att därefter växa. För $H”(t)$ innebär det att $H”(t) < 0$ för tidpunkter innan tanken är halvfull, $H”(t) = 0$ precis då tanken är halvfull och $H”(t) > 0$ för tidpunkter efter att tanken är halvfull.

Nästa steg:
Skissa graferna till de olika funktionerna.

Bestäm algebraiska uttryck för de olika funktionerna.