Handledning – Snitt Mellan Två Kvadrater

Handledning – Snitt Mellan Två Kvadrater

[latexpage]
Förkunskaper: Ma4
Syfte: Problemlösning inom geometri mha grundläggande trigonometri.

Lösningsförslag inkl elevtips:
Svar: Finns flera förenklade svar, tex $\tan(\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2}), \frac{\cos \theta}{1+\sin \theta}$ eller $\frac{1-\sin\theta}{\cos\theta}$, vilka alla är ekvivalenta.

Steg 1: Rita figuren!
Antag att kvadratens nya hörn är $A’, B’, C’$ och $O.$
Här ligger $A’$ och $C’$ på en cirkel kring $O$ med radien $1$, ( så att $A’B’$ och $C’B’$ är tangenter i $A’$ resp $C’$) och $B’$ ligger på en cirkel kring $O$ med radien $\sqrt 2$.

Steg 2:
Antag att $P$ är skärningspunkten mellan $BC$ och $B’A’$. Sökt area är då arean av området $OA’PC$. Av symmetriskäl är trianglarna $\triangle OA’P$ och $\triangle OCP$ kongruenta så den sökta arean = 2(arean av $\triangle OCP.$)

Steg 3:
Metod 1: Vinklarna $\wedge B’OP=\wedge POB=\frac{\theta}{2}$, ty $\wedge B’OB =\theta$.

Då är vinklarna $\wedge POA’=\wedge COP=(\wedge COB’)+(\wedge B’OP)= (\frac{\pi}{4}-\theta)+\frac{\theta}{2}=\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2}$.

Sökt area = $2|\triangle OPC|=2\frac{|OC|\cdot|CP|}{2}=\tan(\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2})$

Metod 2: Hörnet $A’$ har koordinaterna $(\cos\theta,\sin\theta)$.
Linjen $A’P$ har riktiningskoefficient $k=-\frac{\cos\theta}{\sin\theta}$ ( ty $OA’$ har riktningskoefficient $\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$). Ekvationen för linjen $A’P$ blir då $y-\sin\theta=-\frac{\cos\theta}{\sin\theta}(x-\cos\theta)$. Punkten $P$ har y-koordinaten $1$ och då finner vi att dess x-koordinat ges av:

$$\begin{array}{l} x=\cos\theta+\frac{\sin\theta(\sin\theta-1)}{\cos\theta} =\frac{\cos^2\theta+\sin^2\theta-\sin\theta}{\cos\theta} =\frac{1-\sin\theta}{\cos\theta}=\\ =\frac{1-\sin^2\theta}{\cos\theta(1+\sin\theta)}=\frac{\cos^2\theta}{\cos\theta(1+\sin\theta)} =\frac{\cos\theta}{1+\sin\theta} \end{array}$$

varför sökt area $=2\frac{|OC||CP|}{2}=\frac{\cos\theta}{1+\sin\theta}$.

Kontroll:

$$ \tan(\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2})= \frac{\sin(\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2})}{\cos(\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2})}= \frac{\sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{\theta}{2}-\cos\frac{\pi}{4}\sin\frac{\theta}{2}} {\cos\frac{\pi}{4}\cos\frac{\theta}{2}+\sin\frac{\pi}{4}\sin\frac{\theta}{2}}= \frac{\cos\frac{\theta}{2}-\sin\frac{\theta}{2}}{\cos\frac{\theta}{2}+\sin\frac{\theta}{2}}$$

Vilket efter förläng med $\cos\frac{\theta}{2}+\sin\frac{\theta}{2}$ ger

$$ \frac{\cos^2\frac{\theta}{2}-\sin^2\frac{\theta}{2}}{\cos^2\frac{\theta}{2}+\sin^2\frac{\theta}{2}+2\cos\frac{\theta}{2}\sin\frac{\theta}{2}} =\frac{\cos\theta}{1+\sin\theta} $$