Handledning – Svåraste Biljardstöten

Handledning – Svåraste Biljardstöten

   Handledning Ma4    20 februari, 2023  |  0


Förkunskaper: Ma4

Lösningsförslag inkl elevtips:

Sinussatsen ger

\frac{\sin\alpha}{2R}=\frac{\sin\gamma}{A}

Se bild: Låt avståndet från den vita kulan till hålet vara B. Vinkeln \alpha anger hur snett biljardkulan stöts. Vi vill nu maximera avståndet mellan hålet och platsen där den svarta kulan träffar sargen. Detta avstånd ges av

(B-A)\sin\beta

Eftersom din motspelar är mycket duktig så kommer vinklarna \alpha, \beta och \pi-\gamma att vara mycket små. Vi kan därför approximera deras sinusvärden med just \alpha, \beta och \pi-\gamma, eftersom \sin x \approx x då x är litet. Alltså ger ovanstående utsaga att

\frac{\alpha}{2R}\approx\frac{\pi-\gamma}{A} \mbox{ dvs } \gamma\approx \pi-A\frac{\alpha}{2R}

Detta ger nu att

\beta=\pi-\alpha -\gamma\approx \pi -\alpha-(\pi-A\frac{\alpha}{2R})=\frac{\alpha}{2R}(A-2R)

Felet blir då

M=(B-A)\sin\beta\approx(B-A)\beta\approx (B-A)\frac{\alpha}{2R}(A-2R)

För att hitta den maximala felet, då 2R\leq A \leq B, kvadratkompletterar vi och får

-\frac{\alpha}{2R}((A-\frac{2R+B}{2})^2 - (\frac{2R+B}{2})^2 +2RB )

Detta säger att maximalt värde ges när

A - \frac{2R+B}{2}=0 \mbox{ dvs när } A=\frac{B}{2}+r

Den svåraste stöten får din motståndare om bollen läggs ungefär en klotradie närmare hålet än mittpunkten mellan den vita kulan och hålet.

 

  • Kategori

  • Ämnesområde

Info

Material

Medverkande

©  2023 MATTESHERPA. Byggt med WordPress och temat Mesmerize

             ©  2021 MATTESHERPA. Byggt av Matematiska Vetenskaper