Handledning – Svåraste Biljardstöten

Handledning – Svåraste Biljardstöten

[latexpage]
Förkunskaper: Ma4

Lösningsförslag inkl elevtips:

Sinussatsen ger

$\frac{\sin\alpha}{2R}=\frac{\sin\gamma}{A}$

Se bild: Låt avståndet från den vita kulan till hålet vara B. Vinkeln $\alpha$ anger hur snett biljardkulan stöts. Vi vill nu maximera avståndet mellan hålet och platsen där den svarta kulan träffar sargen. Detta avstånd ges av

$ (B-A)\sin\beta $

Eftersom din motspelar är mycket duktig så kommer vinklarna $\alpha, \beta$ och $\pi-\gamma$ att vara mycket små. Vi kan därför approximera deras sinusvärden med just $\alpha, \beta $ och $\pi-\gamma$, eftersom $\sin x \approx x$ då $x$ är litet. Alltså ger ovanstående utsaga att

$\frac{\alpha}{2R}\approx\frac{\pi-\gamma}{A} \mbox{ dvs } \gamma\approx \pi-A\frac{\alpha}{2R}$

Detta ger nu att

$\beta=\pi-\alpha -\gamma\approx \pi -\alpha-(\pi-A\frac{\alpha}{2R})=\frac{\alpha}{2R}(A-2R)$

Felet blir då

$M=(B-A)\sin\beta\approx(B-A)\beta\approx (B-A)\frac{\alpha}{2R}(A-2R)$

För att hitta den maximala felet, då $2R\leq A \leq B$, kvadratkompletterar vi och får

$-\frac{\alpha}{2R}((A-\frac{2R+B}{2})^2 – (\frac{2R+B}{2})^2 +2RB )$

Detta säger att maximalt värde ges när

$A – \frac{2R+B}{2}=0 \mbox{ dvs när } A=\frac{B}{2}+r$

Den svåraste stöten får din motståndare om bollen läggs ungefär en klotradie närmare hålet än mittpunkten mellan den vita kulan och hålet.