Handledning – Tangent-Normal 2

Handledning – Tangent-Normal 2


Förkunskaper: Ma4

Lösningsförslag inkl elevtips:
Sätt f(x)=4\left( \frac{2x^2+3x+4}{3x^2+2x+1}\right)^2 = 4(g(x))^2, där

    \[g(x)=\frac{2x^2+3x+4}{3x^2+2x+1}\]

Tangentens ekvation ges av y-y_0=k_t(x-x_0) där k_t=f'(x_0). Vi har x_0=1 som ger

    \[y_0=4\left(\frac{2+3+4}{3+2+1} \right)^2 = 9\]

Kedjeregeln ger då att

    \[\displaystyle f'(x)=4\cdot 2\cdot g(x) \cdot g'(x)\]

där

    \[g'(x)= \frac{ (4x+3)(3x^2+2x+1)-(6x+2)(2x^2+3x+4) }{ (3x^2+2x+1)^2 }\]

dvs då x_0=1 får vi g'(1)=\frac{7\cdot 6-8\cdot 9}{6^2}=-\frac{5}{6} och

k_t=f'(1)=8\cdot \frac 96\cdot \frac{-5}{6}=-10.

Alltså tangenten ges av ekvationen y-9=-10(x-1), dvs y=-10x+19.

Normalen har riktningskoefficient k_n=-\frac{1}{k_t}=\frac {1}{10} och därför ges normalen av ekvationen y-9=\frac {1}{10}(x-1) dvs y=\frac{1}{10}x+\frac{89}{10}.