Handledning – Tangent-Normal 2

[latexpage]
Förkunskaper: Ma4

Lösningsförslag inkl elevtips:
Sätt $ f(x)=4\left( \frac{2x^2+3x+4}{3x^2+2x+1}\right)^2 = 4(g(x))^2$, där

$$ g(x)=\frac{2x^2+3x+4}{3x^2+2x+1} $$

Tangentens ekvation ges av $ y-y_0=k_t(x-x_0) $ där $ k_t=f'(x_0) $. Vi har $x_0=1$ som ger

$$ y_0=4\left(\frac{2+3+4}{3+2+1} \right)^2 = 9 $$

Kedjeregeln ger då att

$$ \displaystyle f'(x)=4\cdot 2\cdot g(x) \cdot g'(x) $$

där

$$ g'(x)= \frac{ (4x+3)(3x^2+2x+1)-(6x+2)(2x^2+3x+4) }{ (3x^2+2x+1)^2 } $$

dvs då $ x_0=1 $ får vi $ g'(1)=\frac{7\cdot 6-8\cdot 9}{6^2}=-\frac{5}{6} $ och

$ k_t=f'(1)=8\cdot \frac 96\cdot \frac{-5}{6}=-10$.

Alltså tangenten ges av ekvationen $ y-9=-10(x-1) $, dvs $ y=-10x+19 $.

Normalen har riktningskoefficient $ k_n=-\frac{1}{k_t}=\frac {1}{10} $ och därför ges normalen av ekvationen $ y-9=\frac {1}{10}(x-1) $ dvs $ y=\frac{1}{10}x+\frac{89}{10} $.