Handledning – Tangenten Till Tredjegradskurvan
[latexpage]
Förkunskaper: Derivata av polynom, räta linjens ekvation på enpunktsform, Ma3.
Syfte: Att bevisa ett vackert samband mellan tredjegradsekvationers reella rötter.
Lösningsförslag inkl elevtips:
Tips: Pröva gärna först att påståendet gäller för en vald tredjegradskurva.
[För t.ex. y = f(x) = (x-4)(x-2)(x+2) ska tangenten i x = 3 gå genom (-2,0), tangenten i x = 1 gå genom (2,0) och tangenten i x = 0 gå genom (4,0)]
Försök sedan att visa sambandet i det allmänna fallet.
Lösningsförslag:
- Skriv y = f(x) på allmän form och derivera med avseende på x. $ f'(x)=3x^{2}-2x(a+b+c)+(ab+bc+ca) $
- Välj två av nollställena och teckna medelvärdet $ m=\frac{(a+b)}{2} $}, beräkna {$ f(m)=(m-a)(m-b)(m-c) $ och tangentens lutning i m: $ f'(m)=3m^{2}-2m(a+b+c)+(ab+bc+ca)= … = -(a-b)^{2}/4 $
- Skriv tangentens ekvation på enpunktsform $ y-f(m)=f'(m)(x-m) $.
- Sätt y = 0 (skärning med x-axeln) och lös ut x.
- x = c betyder att sambandet är visat, eftersom valet av a och b är fritt.
Nästa steg:
Vad gäller för tangenten om vi har en dubbelrot a = b? trippelrot a = b = c?
Generalisering: Om en rät linje $ y=kx+m $ skär en godtycklig tredjegradskurva, $ y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d $ med reella $a, b, c, d,$ i tre punkter, $x_1, x_2$ och $x_3$, gäller då att tangenten i medelvärdet av två skärningspunkter går genom den tredje skärningspunkten? (specialfall: linjen lika med x-axeln, a = 1)
Känner någon igen satsen och vet vem som publicerat den? Skriv in om det i så fall, tack!
