Handledning – Tangenten Till Tredjegradskurvan

Emilia Ekstrand Handledning Ma3 20 februari, 2023 | 0

Förkunskaper: Derivata av polynom, räta linjens ekvation på enpunktsform, Ma3.
Syfte: Att bevisa ett vackert samband mellan tredjegradsekvationers reella rötter.

Lösningsförslag inkl elevtips:
Tips: Pröva gärna först att påståendet gäller för en vald tredjegradskurva.

[För t.ex. y = f(x) = (x-4)(x-2)(x+2) ska tangenten i x = 3 gå genom (-2,0), tangenten i x = 1 gå genom (2,0) och tangenten i x = 0 gå genom (4,0)]

Försök sedan att visa sambandet i det allmänna fallet.

Lösningsförslag:

Skriv y = f(x) på allmän form och derivera med avseende på x. $f'(x)=3x^{2}-2x(a+b+c)+(ab+bc+ca)$
Välj två av nollställena och teckna medelvärdet $m=\frac{(a+b)}{2}$ }, beräkna { $f(m)=(m-a)(m-b)(m-c)$ och tangentens lutning i m: $f'(m)=3m^{2}-2m(a+b+c)+(ab+bc+ca)= … = -(a-b)^{2}/4$
Skriv tangentens ekvation på enpunktsform $y-f(m)=f'(m)(x-m)$ .
Sätt y = 0 (skärning med x-axeln) och lös ut x.
x = c betyder att sambandet är visat, eftersom valet av a och b är fritt.

Nästa steg:
Vad gäller för tangenten om vi har en dubbelrot a = b? trippelrot a = b = c?

Generalisering: Om en rät linje $y=kx+m$ skär en godtycklig tredjegradskurva, $y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ med reella $a, b, c, d,$ i tre punkter, $x_1, x_2$ och $x_3$ , gäller då att tangenten i medelvärdet av två skärningspunkter går genom den tredje skärningspunkten? (specialfall: linjen lika med x-axeln, a = 1)