Handledning – Tangenter Till Andragradskurvan

[latexpage]
Förkunskaper: Ma3

Lösningsförslag inkl elevtips:
Lösning: Vi noterar första att det är tillräckligt att visa påståendet för kurvan $y=ax^2$. Det är geometriskt uppenbart att detta är möjligt, vi flyttar hela ”situationen” i sid- och höjdled så att kurvans vertex hamnar i origo. Då blir b=c=0.

Låt nu $(x_1, ax_1^2)$ och $(x_2, ax_2^2)$ vara två (olika) punkter på kurvan $y=ax^2$, och notera att $y’=2ax$. Tangenterna genom dessa punkter har ekvationerna

$y-ax_1^2 = 2ax_1(x-x_1)$

och

$y-ax_2^2 = 2ax_2(x-x_2)$.

Vi söker x-värdet för linjernas skärningspunkt, och löser därför ut y i båda, sätter lika och får

$2ax_1(x-x_1) + ax_1^2 = 2ax_1(x-x_1) + ax_1^2$.

Vi löser ut x;

$ x = \frac{ax_1^2-ax_2^2}{2a(x_1-x_2)} = \frac{x_1+x_2}{2}$.

Men $\frac{x_1+x_2}{2}$ är ju x-värdet mitt emellan $x_1$ och $x_2$ och vi är klara.